1、热点探究课(三)数列中的高考热点问题命题解读数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等热点1等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”(2016天津高考)已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an
2、的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和解(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.2分又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.5分(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列.8分设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.10分规律方法1.若an是等差数列，则ban(b0，且b1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b0，且b1)是等差
3、数列2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化对点训练1已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.若a10，则Sn0.当n2时，anSnSn1000，所以an0(n1).2分若a10，则a1. 当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当
4、a10时，an.5分(2)当a10，且100时，令bnlg，由(1)知，bnlg2nlg 2.7分所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2.b1b2b6lglglg 10，当n7时，bnb7lglglg 10.故数列的前6项和最大.12分热点2数列的通项与求和(答题模板)“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用(本小题满分12分)(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和思路点拨(1)取n1，先求出a1，再求an的通项公式(2)将an代入anbn1bn1nb
5、n，得出数列bn为等比数列，再求bn的前n项和规范解答(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.3分所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.5分(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，7分因此bn是首项为1，公比为的等比数列.9分记bn的前n项和为Sn，则Sn.12分答题模板第一步：求出an的首项a1；第二步：求出an的通项公式；第三步：判定bn为等比数列；第四步：求出bn的前n项和；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范温馨提示若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的
6、“基本量”在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法对点训练2数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*. 【导学号：31222193】(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.解(1)证明：由已知可得1，2分即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列.5分(2)由(1)得1(n1)1n，所以ann2.7分从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.所以Sn.12分热点3数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n
7、，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明角度1数列与函数的交汇(2016湖北七市4月联考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n22n.(1)求数列an的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数ylog2 x的图象上，求数列bn的前n项和Tn. 【导学号：31222194】解(1)当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，当n1时，a1S1
8、441，所以数列an的通项公式为an4n.5分(2)由点(bn，an)在函数ylog2 x的图象上得anlog2bn，且an4n，所以bn2an24n16n，8分故数列bn是以16为首项，公比为16的等比数列Tn.12分规律方法解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理角度2数列与不等式的交汇(2017贵阳适应性考试(二)已知数列an满足2an1an2an(nN*)，且a3a720，a2a514.(1)求数列an的通项公式；(2)
9、设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.解(1)由2an1an2an得an为等差数列.2分设等差数列an的公差为d，由a3a720，a2a514，解得d2，a12，数列an的通项公式为an2n.5分(2)证明：bn ，8分Sn，当nN*，Sn0，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.解(1)由已知Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.3分由a2，a3
10、，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nN*).5分(2)由(1)可知anqn1，所以双曲线x21的离心率en.8分由e22解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1).12分3(2016南昌模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S36.正项数列bn满足b1b2b3bn2Sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若bnan，对nN*均成立，求实数的取值范围解(1)等差数列an中，a11，S36，d1，故ann.2分由得bn2SnSn12an2n(n2)，b12S1212，满足通项公式，故bn2n.5分(2)bnan恒成立，即恒成立，7分设cn，则，当n1时，cn1cn，cn单调递减，(cn)maxc1，故，的取值范围是.12分4已知数列an中，a11，an11，数列bn满足bn(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)证明：7.解(1)由题意得an112，bn1bn.3分又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列，bn.5分(2)证明：当n1时，左边47不等式成立；6分当n2时，左边4157不等式成立；8分当n3时，4，左边4145477.10分7.12分
