1、能力练(一)空间想象能力一、选择题1如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()AKBHCG DB答案：C解析：取AC的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊CC綊KF，则四边形EFKM为平行四边形，若PK，则AABBCCKF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HBMKHBEF，若PH或PB，则平面PEF与平面EFBA为同一平面，与平面EFBA平行的棱只有AB.2(2019春南昌期中)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFG
2、H的形状为()A三角形 B梯形C平行四边形 D长方形答案：C解析：平面ABFE平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，EFGH.同理，FGEH，四边形EFGH为平行四边形3(2019四川模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(1,2,0)，(0,2,1)，(1,0,1)，则该四面体在yOz平面内的投影为()A. BC. D答案：D解析：依题意，建立空间直角坐标系，如图所示所以该四面体在平面yOz平面内的射影为矩形，其中AC的射影为实线，OB为虚线4.已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图如图所示当正视图的面积最大时，该
3、正四棱锥的表面积为()A8 B88C8 D48答案：B解析：由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示其正视图与侧视图相同，设正四棱锥的高为h，则a2h24.故正视图的面积为S2ahah2，当且仅当ah时，S最大故该正四棱锥的表面积为S表(2a)242a288.5已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B2C4 D3答案：A解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16，所以该球的半径为R2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是2.6(2019海淀区校级模拟)如图，
4、在下列三个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是()ABD1平面EFG的有且只有；BD1平面EFG的有且只有BBD1平面EFG的有且只有；BD1平面EFG的有且只有CBD1平面EFG的有且只有；BD1平面EFG的有且只有DBD1平面EFG的有且只有；BD1平面EFG的有且只有答案：A解析：中利用GEBD，EFBB1，可证得平面EFG平面BB1D1D，从而确定BD1平面EFG；中利用EFA1B则EFBD1；EGAD1，则EGBD1，可得BD1平面EFG；设棱长为2，以D为原点，以DA，DC
5、，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,0)，F(2,1,2)，G(0,2,1)，(2，2,2)，(1,1,2)，(1,2,1)，2240，2420，BD1EF，BD1EG，BD1平面EFG.二、填空题7四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对答案：6解析：由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对8.如图所示，正方形ABCD中，E，F
6、分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_答案：解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH.BEFH，AFH即为异面直线AF与BE所成的角过A作AGEF于G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三角形设正方形边长为2，则EF，HE，EG，HG，AH.由余弦定理知cos AFH.9九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛
7、米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有_斛答案：22解析：设圆锥底面半径为r尺则23r8，所以r，所以米堆的体积为3()25立方尺故堆放的米约为1.6222斛三、解答题10(2019南京模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB2，CD4，APBCBA90，平面PAB平面ABCD.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若M为棱PD上一点，且PB平面MAC，求的值解析：(1)证明：平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BCAB，BC平面ABCD，BC面PAB，AP面PAB，APBC，APPB，BCPBB，AP面PBC，AP面APC，面APC面PBC.(2
8、)连接BD交AC于O，连结OM.PB面MAC，PB面PBD，面PBD面MACOM，PBOM，又ABCD，.11如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1DD1，且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1平面A1BD.(2)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，所以A
9、C平面BB1D1D.而MD平面BB1D1D，所以MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN(图略)因为N是DC的中点，BDBC，所以BNDC，所以BN平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BMON且BMON，即四边形BMON是平行四边形，所以BNOM，所以OM平面CC1D1D.又OM平面DMC1，所以平面DMC1平面CC1D1D.12(2019南昌模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为
10、MNEF，且平面MNEF平面ECDF，如图2.(1)求证：NC平面MFD；(2)若EC3，求证：NDFC；(3)求四面体NEFD体积的最大值解析：(1)四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFCD，MN綊CD.四边形MNCD是平行四边形，NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)连接ED.平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNFF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)设NEx.则FDEC4x，其中0x4.由(2)得NE平面FEC，VNEFDSEFDNEx(4x)VNEFD22，当且仅当x4x，即x2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2.
