1、专题检测（十六）圆锥曲线中的定值、定点、证明问题 大题专攻强化练1(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点(2)若以 E0，52 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程解：(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.(2)
2、由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t212.由于EMAB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0.解得 t0 或 t1.当 t0 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5224；当 t1 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5222.2(2019济南市学习质量评估)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，右焦点为F，且该椭圆过点1，32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当动直线 l 与椭圆 C
3、相切于点 A，且与直线 x4 33 相交于点 B 时，求证：FAB 为直角三角形解：(1)由题意得ca 32，1a2 34b21，又 a2b2c2，所以 b21，a24，即椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：由题意可得直线 l 的斜率存在，设 l：ykxm，联立得ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4m240，判别式 64k2m216(4k21)(m21)0，得 m24k210.设 A(x1，y1)，则 x18km2（4k21）8km2m2 4km，y1kx1m4k2mm 1m，即A4km，1m.易得 B4 33，4 33 km，F(3，0)，则FA4km 3，1m，FB
4、33，4 33 km，FAFB 33 4km 3 1m4 33 km 4 3k3m 14 3k3m 10，所以FAFB，即FAB 为直角三角形，得证3.如图，设点 A，B 的坐标分别为(3，0)，(3，0)，直线 AP，BP相交于点 P，且它们的斜率之积为23.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 P 的轨迹为 C，点 M，N 是轨迹 C 上不同的两点，且满足 APOM，BPON，求证：MON 的面积为定值解：(1)设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得，kAPkBPyx 3yx 323(x 3)，化简得，点 P 的轨迹方程为x23y221(x 3)(2)证明：由题意可知，M，N 是轨迹 C
5、 上不同的两点，且 APOM，BPON，则直线 OM，ON 的斜率必存在且不为 0，kOMkONkAPkBP23.当直线 MN 的斜率为 0 时，设 M(x0，y0)，N(x0，y0)，则y20 x2023，x203y2021，得|x0|62，|y0|1，所以 SMON12|y0|2x0|62.当直线 MN 的斜率不为 0 时，设直线 MN 的方程为 xmyt，代入x23y221，得(32m2)y24mty2t260，(*)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1，y2 是方程(*)的两根，所以 y1y2 4mt32m2，y1y2 2t2632m2，又 kOMkONy1y2x1x2y1
6、y2m2y1y2mt（y1y2）t2 2t263t26m2，所以 2t263t26m223，即 2t22m23，满足 0.又 SMON12|t|y1y2|t|24t248m2722（32m2），所以 SMON2 6t24t2 62.综上，MON 的面积为定值，且定值为 62.4(2019福州市质量检测)已知抛物线 C1：x22py(p0)和圆 C2：(x1)2y22，倾斜角为 45的直线 l1 过 C1 的焦点，且 l1 与 C2 相切(1)求 p 的值；(2)动点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，若 C1 在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B，设MNMAMB，求证：点
7、 N 在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线 l1 的方程为 yxp2，因为直线 l1 与圆 C2 相切，所以圆心 C2(1，0)到直线 l1：yxp2的距离 d1p212（1）2 2.即1p22 2，解得 p6 或 p2(舍去)所以 p6.(2)法一：依题意设 M(m，3)，由(1)知抛物线 C1 的方程为 x212y，所以 yx212，所以 yx6，设 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线 l2 的斜率为 kx16，所以切线 l2 的方程为 y16x1(xx1)y1.令 x0，则 y16x21y11612y1y1y1，即 B 点的坐标为(0，y1)，所以MA(x1m，y
8、13)，MB(m，y13)，所以MN MAMB(x12m，6)，所以ONOM MN(x1m，3)设 N 点坐标为(x，y)，则 y3，所以点 N 在定直线 y3 上 法二：设 M(m，3)，由(1)知抛物线 C1 的方程为 x212y，设 l2 的斜率为 k，Ax1，112x21，则以 A 为切点的切线 l2 的方程为 yk(xx1)112x21，联立得，x212k（xx1）112x21，因为 144k248kx14x210，所以 kx16，所以切线 l2 的方程为 y16x1(xx1)112x21.令 x0，得 B 点坐标为0，112x21，所以MAx1m，112x213，MBm，112x213，所以MN MAMB(x12m，6)，所以ONOM MN(x1m，3)，所以点 N 在定直线 y3 上
