1、专题检测（十八）圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 大题专攻强化练1(2019开封模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 M，MF1F2 为等腰直角三角形，且其面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1k22，证明：直线 AB 过定点解：(1)由题意得12a21，a 2，又 bc，a2b2c2，b1，椭圆 C 的方程为x22y21.(2)证明：由(1)得 M(0，1)当直线 AB 的斜率不存在时，设 A(x0，y0)，则 B(x0，y
2、0)，由k1k22 得y01x0 y01x02，得 x01.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由x22y21，ykxm可得(12k2)x24kmx2m220，则 8(2k2m21)0，x1x24km12k2，x1x22m2212k2.由 k1k22，得y11x1 y21x2 2，即（kx2m1）x1（kx1m1）x2x1x22，(22k)x1x2(m1)(x1x2)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由 m1，得(1k)(m1)km，mk1，即 ykxmkxk1k(x1)1，故直线 AB 过定点(1，1)，经检验，当
3、 k0 或 kb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为12，P 是 C 上的一个动点，且F1PF2 面积的最大值为 4 3.(1)求 C 的方程；(2)设 C 的左、右顶点分别为 A，B，若直线 PA，PB 分别交直线 x2 于 M，N 两点，过点 F1 作以 MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值解：(1)设 P(x0，y0)，椭圆的半焦距为 c.因为 SF1PF212|F1F2|y0|122cbbc，所以 bc4 3.又 eca12，a2b2c2，所以 a4，b2 3，c2，所以 C 的方程为x216y2121.(2)证明：由(1)可知 A(4，0)，B(4，0)，F
4、1(2，0)由题可知：x02，且 x04.设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则直线 PA 的方程为 yk1(x4)，令 x2 得 y6k1，故 M(2，6k1)直线 PB 的方程为 yk2(x4)，令 x2 得 y2k2，故 N(2，2k2)记以 MN 为直径的圆为圆 D，则 D(2，3k1k2)如图，过点 F1 作圆 D 的一条切线，切点为 T，连接 F1D，DT，则|F1T|2|F1D|2|DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又 k1 y0 x04，k2 y0 x04，所以 k1k2 y0 x04 y0 x04y20 x2016，由x
5、2016y20121，得 y2034(x2016)，所以 k1k234，则|F1T|21612k1k2161234 25，所以|F1T|5.故切线长为定值 5.3(2019福州市质量检测)已知抛物线 C1：x22py(p0)和圆 C2：(x1)2y22，倾斜角为 45的直线 l1 过 C1 的焦点，且 l1 与 C2 相切(1)求 p 的值；(2)动点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，若 C1 在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B，设MNMAMB，求证：点 N 在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线 l1 的方程为 yxp2，因为直线 l1 与圆 C2
6、相切，所以圆心 C2(1，0)到直线 l1：yx p2的距离 d1p212（1）2 2.即1p22 2，解得 p6 或 p2(舍去)所以 p6.(2)法一：依题意设 M(m，3)，由(1)知抛物线 C1 的方程为 x212y，所以 yx212，所以 yx6，设 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线 l2 的斜率为 kx16，所以切线 l2 的方程为 y16x1(xx1)y1.令 x0，则 y16x21y11612y1y1y1，即 B 点的坐标为(0，y1)，所以MA(x1m，y13)，MB(m，y13)，所以MN MAMB(x12m，6)，所以ONOM MN(x1m，3)设 N 点坐标为(
7、x，y)，则 y3，所以点 N 在定直线 y3 上 法二：设 M(m，3)，由(1)知抛物线 C1 的方程为 x212y，设 l2 的斜率为 k，Ax1，112x21，则以 A 为切点的切线 l2 的方程为 yk(xx1)112x21，联立得，x212k（xx1）112x21，因为 144k248kx14x210，所以 kx16，所以切线 l2 的方程为 y16x1(xx1)112x21.令 x0，得 B 点坐标为0，112x21.所以MAx1m，112x213，MBm，112x213，所以MN MAMB(x12m，6)，所以ONOM MN(x1m，3)，所以点 N 在定直线 y3 上4已知椭
8、圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，点 A1，22在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线y53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足PMNQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1，因为 A1，22 在椭圆 C 上，所以 2a|AF1|AF2|2 2，因此 a 2，b2a2c21，故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为 y2xt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Px3，53，Q(x4，y4)，MN 的中点为 D(x0，y0)，由y2xt，x22y21 消去 x，得 9y22tyt280，所以 y1y22t9，且 4t236(t28)0，故 y0y1y22t9，且3t3.由PMNQ，得x1x3，y153(x4x2，y4y2)，所以有 y153y4y2，y4y1y2532t953.也可由PMNQ知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y053y42t9，可得y42t159 又3t3，所以73y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1矛盾 因此不存在满足条件的直线
