1、江苏省盐城市2021-2022学年度高二年级第二学期期终考试模拟数学试题一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分每小题只有一个选项最符合题意1. 已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】表示点与距离平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为故选：A2. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，
2、圆，即，圆心为，半径，由圆心到直线的距离，圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为，即的取值范围是，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（）A. B. C. 10D. 0【答案】D【解析】【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【详解】a1，a3，a4成等比数列，=a1a4，=a1（a1+32），化为2a1=-16，解得a1=-8则S9=-89+ 2=0，故选D【点睛
3、】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 已知空间三点，若，且，则点的坐标为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设，则，因为，所以，所以，又，解得或，所以或，故选:C5. 年月3日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件为“取
4、出的两个粽子都为腊肉馅”，分别计算、的值，利用条件概率公式进行计算，即可求得的值【详解】由题意可得，设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则，故，即已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为故选：6. 某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量服从正态分布，则，.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，得出，计算对应的概率值，再求每张芯片
5、获得奖励的数学期望.【详解】因为，得出，所以，；，所以（元）故选：B7. 如图所示，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨令，根据双曲线的定义可求得，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率【详解】，不妨令，又由双曲线的定义得：，在中，又，双曲线的离心率故选;C8. 若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，
6、即可【详解】设函数的切点为,该切线斜率,所以切线方程为,的切点为,所以切线方程为,由于该两切线方程为同一方程,利用待定系数法,可得,解得得到新方程为,构造函数解得,表示与存在着共同的交点,而过定点,得到过的切线方程,设切点为,则,该切点在该直线上,代入,得到,解得,所以直线斜率为,要使得与存在着交点,则,结合,所以a的取值范围为，故选A【点睛】本道题考查了利用导数计算过曲线一点的切线方程，关键掌握好曲线上的点的切线方程计算方法，难度偏难二、多项选择题：共4题，每题5分，共20分每题有不止一个选项符合题意，每题全选对者得5分，选对但不全的得2分，其他情况不得分9. 抛物线与双曲线具有共同的焦点F
7、，过F作的一条渐近线的垂线l，垂足为H，与交于A、B两点，O为坐标原点，则有（ ）A. B. 的渐近线方程为C D. 若l的倾斜角为锐角，则经过O、F且与直线l相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】【分析】求得双曲线的右焦点和抛物线的焦点，解方程可得，可判断A，求得双曲线的渐近线方程，可判断B，求得焦点到渐近线的距离，由勾股定理可求得，可判断C，设圆的标准方程，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，解方程可得圆心和半径，可判断D【详解】双曲线的右焦点为，可得，得，所以A错误，双曲线的渐近线方程为，所以B正确；由点到直线的距离为，则，所以C正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，则
8、，解得，可得圆的方程为，所以D正确，故选：BCD10. 已知是数列的前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. 数列为等比数列B. 数列为等比数列C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质而对称错误的结论，可以求
9、出数列的某些项进行检验11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A. 若任意选择三门课程，选法总数为B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为【答案】AC【解析】【分析】根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案，即可求解【详解】对于A中，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B中，物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选
10、法；第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，故有种选法，由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C中，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，故D错误故选:AC12. 已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）A. 在上单调递增B. 的最大值为C. 的一个极大值点为D. 的一个减区间为【答案】CD【解析】【分析】根据导函数的图像与大小比较可得的单调性，进而分析出极值进行分析即可【详解】对A，由的部分图像并不能确定在恒成立，故A错误；对B，由图只能得出的部分区间单调
11、性，最大值不一定为，故B错误；对C，由图可知，且在左右两侧左正右负，故为的一个极大值，故C正确；对D，当时，所以在上单调递减，故D正确故选：CD三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13. 已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21外切，则ab的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据两圆外切可得(ab)2(21)2并结合基本不等式计算即可.【详解】由两圆外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即(ab)2(21)2，即9a2b22ab4ab，所以ab，当且仅当ab时取等号，即ab的最大值是故答案为：14. 在等比数列中，为其前n项和，则_.【答案
12、】31【解析】【分析】由给定条件求出等比数列的首项和公比即可得解.【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，解得或，时，时，综上31.故答案为：3115. 已知，满足，则的展开式中的系数为_.【答案】30【解析】【分析】根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数【详解】由题意，的展开式中的系数为故答案为：30【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键16. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_种不同的涂色方法.（用数字回答）【答案】【解析】【分析】按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解.
13、【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种；若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种，根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.故答案为：.四、解答题：共6小题，共70分请写出必要的验算步骤与过程17. 已知数列是等比数列，且；（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）数列是公比为的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】（1）证明：数列是公比为的等比数列，且，可得，解得，即有，即，可得数列是首项
14、为3，公差为2的等差数列，可得；（2），所以.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18. 如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点E在棱上，且平面，求线段的长【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）根据题意先证明平面，然后证明.（2）建立空间直角坐标系，找到平面与平面的法向量，然后根据向量中面面角计算公式计算即可.（
15、3）先通过共线向量性质得出，用表示E点坐标，再根据题意计算出，最后计算得出线段的长.小问1详解】证明：因为平面平面，且平面平面，因为，且平面所以平面因为平面，所以【小问2详解】解：在中，因为，所以，所以所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以，易知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，即，令，则则，即平面与平面夹角的余弦值为【小问3详解】解：因为点E在棱，所以因为所以又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以所以，所以19. 东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区国家风景名胜区国家生态旅游示范区国家森林公园国家湿地公园国家水利风景区“六位一体
16、”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江东江大坝龙景峡谷兜率灵岩东江漂流三湘四水东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆摄影艺术馆人文潇湘馆），还有仿古画舫豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.（1）根据以上统计数据，完成下列列联表，分析是否有把握认为有“二次游”愿望与年龄
17、有关？有“二次游”愿望无“二次游”愿望合计青少年人中老年人合计（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表答案见解析，有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）根据10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望，再代入卡方计算公式，求得即可得到答案；（2）随机变量的所有可能取值为0，1
18、，2，3，求出的值，再求期望；【详解】解：（1）有“二次游”愿望无“二次游”愿望合计青少年人8210中老年人268合计10818.有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，.随机变量的分布列为0123（或）.20. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立求：（1）乙赢球的概率；（2）比赛停止时已打局数的数学期望【答案】（1） （2）【解析】【分析】乙赢球即第二局或第四局或第六局结束乙赢得比赛，进而求出结果；的所有可能值为，求出对应的场
19、次结束时比赛停止的概率，由此能求出的分布列，由的分布列能求出【小问1详解】乙赢球即第二局或第四局或第六局结束乙赢得比赛，则由题意知：【小问2详解】的可能取值为、，则，故的分布列为的期望21. 已知为椭圆上任一点，为椭圆的焦点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆的两交点为A，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】由椭圆定义可得的值，进而由离心率可得，再求得，即可得到椭圆的方程；设出点A，的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可求出，进而求得的值，从而求得直线的方程【小问1详解】由椭圆定
20、义得，所以，故，所以椭圆的方程为【小问2详解】设代入方程，得所以，所以，解得，则式变为则，底边上的高，所以的面积令，解得，把，代入式，经检验，均满足，此时直线的方程为或22. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性.（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.（ 为自然对数的底数， ）.【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，先对函数求导，求得斜率，结合切点坐标，利用点斜式得到切线方程.（2）求出的表达式，对求得，然后将分成四类，讨论函数的单调区间.（3）将表达式代入原不等式并化简，构造函数设利用导数求得函数的最小值，令这个最小值大于零，求得的取
21、值范围.【详解】解：（1）， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），定义域为， ，当时，当时，在单调递增；当时，在单调递减；当时，当或时，在，上单调递增；当时，在单调递减；当时，在单调递增； 当时，当或时，上单调递增；当时，在单调递减. 综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在，上单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在，上单调递增，在单调递减. （3）当时，即恒成立，设， 显然在上单调递增，且，所以当时，；当时，.即在上单调递减，在上单调递增. ，所以，所以的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立有关的问题.属于中档题.在求切线方程的过程中，关键点是：切点坐标和斜率，对于已知函数解析式的题目，可直接利用切点的横坐标，分别代入原函数和导函数，求得切点的坐标和斜率.
