1、专题检测（十九）基本初等函数、函数与方程 A 组“124”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是()A.(0，)B.)0，C.(，)D.(，0)解析：选 D 设 f(x)xa，则 2a14，所以 a2，所以 f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选 D.2.(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.abcB.acbC.cabD.bca解析：选 B 由对数函数的单调性可得 alog20.2201，0c0.20.30.201，所以 ac0，且 a1)的定义域和值域都是0，1，则 loga56loga485()A.1
2、B.2C.3 D.4解析：选 C 当 a1 时，函数 y aax在0，1上单调递减，a11 且 aa0，解得 a2；当 0a0 且 b1)解析：选 C 观察数据可知，当 x 增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于 Q(3)对称，故月销售量 Q(x)(台)与时间 x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于 x3 对称的，显然只有选项 C 满足题意，故选 C.8.已知函数 f(x)lg21xa 是奇函数，且在 x0 处有意义，则该函数为()A.(，)上的减函数B.(，)上的增函数C.(1，1)上的减函数D.(1，1)上的增函数解析：选 D 由题意知，f(0)lg(2a)0，a1，f(x)lg
3、21x1 lgx11x，令x11x0，则1x0，且 a1)过定点(2，0)，且 f(x)在定义域 R 上是减函数，则 g(x)loga(xk)的图象是()解析：选 A 由题意可知 a2k10，解得 k2，所以 f(x)ax21，又 f(x)在定义域 R上是减函数，所以 0a0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则a 的取值范围是()A.1，0)B.0，)C.1，)D.1，)解析：选 C 令 h(x)xa，则 g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示.若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交
4、点，平移 yh(x)的图象，可知当直线 yxa 过点(0，1)时，有 2 个交点，此时 10a，a1.当yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意.综上，a 的取值范围为1，).故选C.11.(2019贵阳市第一学期监测)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上单调递减，若 aflog215，bf(log24.1)，cf(20.5)，则 a，b，c 的大小关系是()A.abcB.bacC.cabD.cba解析：选 D 由题意，函数 f(x)在(0，)上单调递增，因为函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 flog215 f(log25)f(log
5、25)，因为 log25log24.1220.50，所以 f(log25)f(log24.1)f(20.5)，即 cba，故选 D.12.(2019福州市质量检测)已知函数 f(x)12x4，x0，x3x5，x0，当 xm，m1时，不等式 f(2mx)f(xm)恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.(，4)B.(，2)C.(2，2)D.(，0)解析：选 B 易知函数 f(x)12x4，x0，x3x5，x0在 xR 上单调递减，又 f(2mx)f(xm)在 xm，m1上恒成立，所以 2mxxm，即 2xm 在 xm，m1上恒成立，所以 2(m1)m，解得 m2，故选 B.二、填空题13.(20
6、19广州市综合检测(一)已知函数 f(x)x3alog3x，若 f(2)6，则 f 12 _.解析：由 f(2)8alog326，解得 a 2log32，所以 f 12 18alog31218alog3218 2log32log32178.答案：17814.(2019河北模拟调研改编)已知函数 f(x)loga(x1)(a0，且 a1)在2，0上的值域是1，0，则实数 a_；若函数 g(x)axm3 的图象不经过第一象限，则实数 m的取值范围为_.解析：函数 f(x)loga(x1)(a0 且 a1)在2，0上的值域是1，0.当 a1 时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递减，f（2）l
7、oga30，f（0）loga11，无解；当 0a1 时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递增，f（2）loga31，f（0）loga10，解得 a13.g(x)13xm3的图象不经过第一象限，g(0)13m30，解得 m1，即实数 m 的取值范围是1，).答案：13 1，)15.已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金定为 3 000 元时，这70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获
8、得最大利润，每套房月租金应定为_元.解析：设利润为 y 元，租金定为 3 00050 x(0 x70，xN)元.则 y(3 00050 x)(70 x)100(70 x)(2 90050 x)(70 x)50(58x)(70 x)5058x70 x22204 800，当且仅当 58x70 x，即 x6 时，等号成立，故每月租金定为 3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润.答案：3 30016.已知函数 f(x)3x1，x0，x12，x0在区间1，m上的最大值是 2，则 m 的取值范围是_.解析：f(x)3x1，x0，x12，x0，作出函数的图象，如图所示，因为函数 f(x)在1，
9、m上的最大值为 2，又 f(1)f(4)2，所以10，且 a1)，当 x0，12 时，恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间是()A.，12B.(0，)C.，14D.14，解析：选 A 当 x0，12 时，2x2x(0，1)，因为当 x0，12 时，恒有 f(x)0，所以0a0 得 x0 或 x12.又 2x2x2x14218，由复合函数的单调性可知，函数 f(x)的单调递增区间为，12.3.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA4，M 是 PB 上(P，B 点除外)的一个动点，过点 M 作平面 平面 PAD，截棱锥所得截面面积为 y，若平
10、面 与平面 PAD 之间的距离为 x，则函数 yf(x)的大致图象是()解析：选 D 法一：如图，过点 M 作 MTPA 交 AB 于点 T，过点 M作 MNBC 交 PC 于点 N，过点 N 作 NSPD 交 CD 于点 S，连接 TS，则平面 MTSN平面PAD，所以 yS 四边形 MTSN.由 PA平面 ABCD，可得 MT平面 ABCD，所以平面 与平面 PAD 之间的距离 xAT，且四边形 MTSN 为直角梯形.由 MTPA，MNBC，得MTPA2x2，MNBCx2，所以 MT2x2 42(2x)，MNx22x，所以 yS 四边形 MTSNMT2(MNST)(2x)(x2)4x2(0
11、 x2).故选 D.法二：设 M，N，S，T 分别为棱 PB，PC，CD，AB 的中点，连接 MN，NS，ST，MT，则易知四边形 MTSN 为直角梯形.易证 CD平面 PAD，平面 MTSN平面 PAD，所以此时 x1，y12(MNST)MT12(12)23，即函数 yf(x)的图象过点(1，3)，排除 A、C；又当 x0 时，ySPAD12244，所以排除 B.故选 D.4.(2019河北省九校第二次联考)若函数 f(x)kx|xex|有两个正实数零点，则 k 的取值范围是()A.(0，)B.0，1eC.(0，1)D.(0，e)解析：选 C 令 f(x)kx|xex|0，得 kx|xex|
12、，当 x0 时，kxexx1 1xex，令 g(x)1 1xex，x0，则 g(x)1xx2ex 0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为 g 12 1 2e0，g(1)11e0，所以在12，1 上存在一个 a，使得 g(a)0，所以 y|g(x)|的图象如图所示.由题意知，直线 yk 与y|g(x)|的图象有两个交点，所以 0k1，故选 C.5.已知函数 f(x)sin x，0 x1，log2 019x，x1，若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是()A.(1，2 019)B.(1，2 020)C.2，2 020 D.(2，2 020)解析：选 D
13、 法一：由于函数 ysin x 的周期为 2，0 x1，故它的图象关于直线 x12对称.不妨设 0abc，则 ab1，c1，故有 abc2，再由正弦函数的定义域和值域可得 f(a)f(b)f(c)0，1，故有 0log2 019c1，解得 c2 019.综上可得，2abc2 020，故选 D.法二：作出函数 f(x)的图象与直线 ym，如图所示，不妨设 abc，当 0 x1 时，函数 f(x)的图象与直线 ym 的交点分别为 A，B，由正弦曲线的对称性，可得 A(a，m)与 B(b，m)关于直线 x12对称，因此 ab1，当直线 ym1 时，由 log2 019x1，解得 x2 019.若满足
14、 f(a)f(b)f(c)，且 a，b，c 互不相等，由 abc 可得 1c2 019，因此可得 2abc2 020，即 abc(2，2 020).故选 D.6.已知在(0，)上函数 f(x)2，0 x1，1，x1，则不等式 log2xlog14(4x)1f(log3x1)5 的解集为_.解析：原不等式等价于log3x11，log2xlog14（4x）1 5 或0log3x11，log2x2log14（4x）1 5，解得 1x4 或13x1，所以原不等式的解集为13，4.答案：13，47.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近 10 年的产量平稳增长.记 2016 年为第 1 年，且前
15、 4 年中，第 x 年与年产量 f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234 f(x)4.005.617.008.87若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)log12xa.则你认为最适合的函数模型的序号为_.解析：若模型为 f(x)2xa，则由 f(1)21a4，得 a2，即 f(x)2x2，此时 f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为 f(x)log12xa，则 f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为 f(x)axb，由已知得ab4，3ab7，解得a32，b52.所以 f(x)32x5
16、2，xN，所以最适合的函数模型的序号为.答案：8.(2019吉林长春四校 5 月联考)已知 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足 g(x)h(x)2x.若存在 x1，1，使得不等式 mg(x)h(x)0 有解，则实数 m 的最大值为_.解析：因为 g(x)h(x)2x，所以 g(x)h(x)2x.又 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以 g(x)h(x)2x，联立，得 g(x)2x2x2，h(x)2x2x2.由 mg(x)h(x)0，得 m2x2x2x2x4x14x1124x1.因为 y124x1为增函数，所以当 x1，1时，124x1 max1 24135，所以m35，即实数 m 的最大值为35.答案：35
