1、江苏省如皋中学 20192020 学年度高一第二学期期末数学综合复习四 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.若圆锥的侧面展开图的圆心角为90，半径为 r，则该圆锥的全面积为()A.162rB.1632rC.42rD.1652r2.当点 P(3,2)到直线 mx-y+1-2m=0 的距离最大时,m 的值为()A.3B.0 C.-1D.13.等比数列an中,114+=nnnaa,则数列an的公比为()A.2 或-2B.4 C.2D.24九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人
2、分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A 54钱B 43钱C 32钱D 53钱5设 x，y 均为正数，且 xyxy100，则 xy 的最小值是（）A4B5C6D106.如图,E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 上的一点(不与端点重合),BD1平面 B1CE,则()A.BD1CEB.AC1BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC17.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数
3、的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.ab2 ab(a0，b0)Ba2b22 ab(a0，b0)C.2abab ab(a0，b0)D.ab2 a2b22(a0，b0)8数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想221(0,1,2,)nnFn=+=是质数直到 1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出5641 6700417F=，不是质数现设na=()2log1,(1,2,)nFn=，nS 表示数列na的前n 项和则
4、使不等式212231222nnnS SS SS S+22020n成立的最小正整数 n 的值是（提示1021024=）（）A11B10C9D8二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）9.已知直线()()()021:,011:2221=+=+yaaxalayxal若21/ll，则a 的可能值为（）A1B-1C0D-210.已知直线01=+byax与圆122=+yx相切，则ba23+的值可以为()A23B 22C 10D 1311.如图所示，在四棱锥 EABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，CDE是正三角形，M为线段 DE 的中点，点 N 为底面 ABCD 内
5、的动点，则下列结论正确的是()A若 BCDE时，平面CDE 平面 ABCDB若 BCDE时，直线 EA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为104C若直线 BM 和 EN 异面时，点 N 不可为底面 ABCD 的中心D若平面CDE 平面 ABCD，且点 N 为底面 ABCD 的中心时，BMEN=.12若 a、b、Rc，且1abbcca+=，则下列不等式成立的是（）A3abc+B()23abc+C 1112 3abc+D2221abc+三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知圆 x2+y2-2x+2y+a=0 截直线 x+y-4=0 所得弦的长度小于 6,则实数 a
6、 的取值范围为 .14.在数列an中,已知 a1=1,且对于任意的 m,nN*,都有 am+n=am+an+mn,则数列an的通项公式为 .15.已知圆 M:(x-6)2+(y-6)2=16,点 A(8,4),过点 A 的动直线与圆 M 交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 N,O为坐标原点,则OMN 面积的最大值为 .16点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1 的棱 BC，BB1 的中点，设A1MN 的面积为S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1 所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM的体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，则1=，1=三、解答
7、题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在中，的平分线所在直线 的方程为，若点，.（1）求点关于直线 的对称点的坐标；（2）求边上的高所在的直线方程.18.如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点（1）求证：B1C平面 A1BD；（2）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥 CAA1B 的体积 19.已知数列an中,a1=1,an0,前 n 项和为 Sn,若 an=+-1(nN*,且 n2).(1)求数列an的通项公式;(2)记 cn=an 2,求数列cn的前 n 项和 Tn.ABCC
8、l2yx=()4,2A()3,1BAlDACA1C1B1ABCD20.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1 和人行道(阴影部分)组成已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为4 m 和 10 m(如图所示)(1)设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|x(x1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？21.如图，在四棱锥中PABCD中，,/,ABPC ADBC ADCD且222 2,2PCB
9、CADCDPA=(1)证明：以 PA 平面 ABCD(2)在线段 PD 上，是否存在一点 M,使得二面角 MACD的大小为 60？如果存在，求 PMPD 的值;如果不存在，请说明理由.22.已知圆的方程为，直线 的方程为，点在直线 上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；（3）设线段 AB 的中点为 N，求点 N 的轨迹方程.M22(2)1xy+=l20 xy=PlPM,PA PB,A B60APB=P,A P M江苏省如皋中学 20192020 学年度高一第二学期期末数学综合复习四答案1.D2C.3.C4B5C6.D7.D8C
10、【解析】把221nnF=+代入()2log1nnaF=），得()22log21 12nnna=+=，故()()2 122 2112nnnS=，则11211142121nnnnnS S+=，则不等式211223122211214212020nnnnnS SS SS S+=成立，代入计算可得，当不等式成立时n 的最小值为 9故选：C9.ACD10BCD11.AC12BD13.(-15,2)14.an=1+2+3+4+n=(+1)2.15.12.16点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1 的棱 BC，BB1 的中点，设A1MN 的面积为S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1 所得截
11、面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V，则1=712，1=35 如图所示，延长 NM 交直线 C1C 于点 P，连接 PA1 交 AC 于点 Q，连接 QM可得截面为四边形 A1NMQ由 BB1CC1，M 为 BC 的中点，可得PCMNBM可得A1MN 的面积 S1=12 1，由 QCA1C1，利用平行线的性质可得1 BMN 的面积与四边形 B1C1BC 面积的关系，五棱锥 A1CC1B1NM的体积与四棱锥 A1B1C1BC 的关系，而三棱锥 A1ABC 的体积=23V，即可得出1 来源:Zxxk.Com如图所示，延长 NM 交直线
12、C1C 于点 P，连接 PA1 交 AC 于点 Q，连接 QM平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1 所得截面为四边形 A1NMQBB1CC1，M 为 BC 的中点，则PCMNBM点 M 为 PN 的中点A1MN 的面积 S1=12 1，QCA1C1，1=13=1，A1QM 的面积=23 1，1=35BMN 的面积=18 四边形11，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1=78 四棱锥111，而三棱锥 A1ABC 的体积=23V，1=7823=712故答案为：712，3517.在中，的平分线所在直线 的方程为，若点，.（1）求点关于直线 的对称点的坐标；（2）求边上的高所在的直线方程
13、.解：（1）设点关于 的对称点，则.（2）点在直线上，直线的方程为，因为在直线上，所以，所以；，所以边上的高所在的直线方程的方程为；（备注：若学生发现，进而指出边上的高即为，边上的高所在的直线方程的方程为也可以）ABCCl2yx=()4,2A()3,1BAlDACAl(),D m n21442224222nmmnnm=+=+=()4,2DDBCBC3100 xy+=C2yx=3100224xyxyxy+=()2,4C13ACk=AC3100 xy+=ACBCACBCAC3100 xy+=18.（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 AA1B1B平面 ABC，D是 AC 的中点（
14、1）求证：B1C平面 A1BD；（2）若A1ABACB60，ABBB1，AC2，BC1，求三棱锥 CAA1B 的体积【解析】（1）证明：连结 AB1 交 A1B 于点 O.三棱柱 ABCA1B1C1 中，11AABB=,四边形 AA1B1B 为平行四边形，O 为 AB1 的中点，又AB1C 中，D 是 AC 的中点，ODB1C，3 分又 OD平面 A1BD，B1C平面 A1BD，B1C平面 A1BD.6 分（2）解：AC2，BC1，ACB60，AB2AC2+BC22ACBCcosACB3，得3AB=AC2AB2+BC2，则 ABBC又平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 AB
15、CAB，BC平面 ABC，BC平面 AA1B1B8 分A1AB60，ABBB1AA1，13AA=1111133 3sin33,2224A ABSAB AAA AB=10 分11113 331.3344CA ABA ABVSBC=12 分19.已知数列an中,a1=1,an0,前 n 项和为 Sn,若 an=+-1(nN*,且 n2).(1)求数列an的通项公式;(2)记 cn=an 2,求数列cn的前 n 项和 Tn.(1)在数列an中,an=Sn-Sn-1,又有 an=+-1(nN*,且 n2),所以 an=Sn-Sn-1=(+-1)(-1)=an(-1),所以 -1=1,所以数列是以1=1
16、=1 为首项,公差为 1 的等差数列,所以=1+(n-1)=n,即 Sn=n2.当 n=1 时,a1=S1=1,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1=21-1=1 也满足上式,所以an的通项公式为 an=2n-1.(2)由(1)知 cn=an 2=(2n-1)22n-1,Tn=21+323+525+(2n-3)22n-3+(2n-1)22n-1,4Tn=23+325+527+(2n-3)22n-1+(2n-1)22n+1.-得-3Tn=21+223+225+227+222n-1-(2n-1)22n+1=5-63 22n+1-103 ,即Tn=6-5922n+1
17、+109.A1C1B1ABCDOA1C1B1ABCD20.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1 和人行道(阴影部分)组成已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示)(1)设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|x(x1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，由 a2x4 000，得 a20 10 x.则 S
18、(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)20 10 x16080102 x 5x 4 160(x1)(2)S(x)80 102 x 5x 4 16080 1022 x 5x4 1601 6004 1605 760，当且仅当 2 x 5x，即 x52时，等号成立，此时 a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 的长和宽应分别设计为 100 m,40 m.21.如图，在四棱锥中 PABCD中，,/,ABPC ADBC ADCD且222 2,2PCBCADCDPA=(1)证明：以 PA 平面 ABCD(2)在线段 PD 上，是否存在一点
19、 M,使得二面角 MACD的大小为60？如果存在，求 PMPD 的值;如果不存在，请说明理由.【答案】证明:在平面 ABCD 中,/ADBC,ADCD,且222 2BCADCD=2,ABACABAC=又 ABPC,ACPCC=AC 平面 PAC,PC 平面 PACAB 平面 PAC2,2 2,PAACPCPAAC=又,PAAB ABACA=AB 平面 ABCD,AC 平面 ABCD,PA 平面 ABCD(2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN,使/MNPA方法一：由（1)得 PA 平面 ABCD，MN 平面 ABCD.又AC 平面 ABCD，MNAC.过点 N 作 NOAC于点 O又.
20、MNNON=,MN 平面 MNO，NO 平面 MNO AC 丄平面 MNO.又MO 平面 MNO,ACMO.又,ACNOMON二面角 MACD的平面角.设 PMxPD=则()122MNx APx=,2222ONANxADx=二面角 MACD的大小为 60，22tantan 603MNxMONONx=解得42 3x=，42 3PMPD=，满足要求的点 M 存在，且42 3PMPD=.22.已知圆的方程为，直线 的方程为，点在直线 上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；（3）设线段 AB 的中点为 N，求点 N 的轨迹方程.【解析
21、】（1）设，因为是圆的切线，所以APM=30，2 分所以，解之得,故所求点的坐标为或3 分（2）的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：，5 分化简得：22(2)(22)0 xyymxy+=，M22(2)1xy+=l20 xy=PlPM,PA PB,A B60APB=P,A P M(2,)Pm mPAM60APB=2MP=22(2)(2)4mm+=40,5mm=P(0,0)P8 4(,)5 5PMP(,1)2mQ m+PAM,A P MQMQ2222()(1)(1)22mmxmym+=+此式是关于的恒等式，故2220,220,xyyxy+=+=解得或4525xy=.所以经过三点的圆必过定点和 4 2,5 5.7 分（3）由22222(2)20,430 xymxmymxyy+=+=可得 AB：2mx+（m-2）y+3-2m=0，即 m（2x+y-2）-2y+3=0，由220,230 xyy+=可得 AB 过定点1 3,4 2R.9 分因为 N 为圆 M 的弦 AB 的中点，所以 MNAB，即 MNRN，故点 N 在以 MR 为直径的圆上，11 分点 N 的轨迹方程为22173042xyxy+=.12 分m02xy=,A P M(0,2)
