1、第 3 讲 基本不等式 1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 ab2几个重要的不等式(注意逆应用)(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当ab时取等号 2ab(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号3利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 q 那么当且仅当_时，xy 有最大值
2、是q24(简记：和定积最大)xyxy【答案】4 1(教材改编)函数 yx4x(x0)的最小值为_.【解析】x0，yx4x4，当且仅当 x4x，即 x2时取等号，故函数 yx4x(x0)的最小值为 4.【答案】25 2(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.【解析】设矩形场地的一边长为 x m，矩形场地的面积为 ym2，则另一边长为12(202x)(10 x)m，则 yx(10 x)x（10 x）2225，当且仅当 x10 x，即 x5 时，ymax25.【答案】81 3(教材改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为_【解析】xyx
3、y2281，当且仅当 xy9 时等号成立4(教材改编)若正数 m 等于两个正数 a 与 b 之和，则当 a_，b_时，ab 有最大值_【解析】abm2 ab，所以 abm24，当且仅当 abm2时，ab 有最大值m24.【答案】m2 m2 m24【答案】7 题组二 常错题索引：基本不等式的两个易错点：(1)忽视不等式成立的条件；(2)忽视等号成立的条件5若 x1，则 x 9x1的最小值为_【解析】x 9x1x1 9x11617，当且仅当 x1 9x1，即 x4 时等号成立6若实数 x，y 满足 x22y24，则|xy|的最大值为_【解析】因为 x22y24，所以 x2y212x22y2 12x
4、22y2222，则|xy|的最大值为 2，当且仅当 x 2时等号成立【答案】2【答案】5 7函数 ysin x 4sin x，x0，2 的最小值为_【解析】当 sin x 4sin x时，sin x2，显然利用基本不等式时，等号取不到，可设 tsin x，则 t(0，1，yt4t在(0，1上为减函数，故当 t1 时，y 取得最小值 5.【答案】(，22，)8函数 f(x)x1x的值域为_【解析】当 x0 时，x1x2x1x2，当且仅当 x1时取等号；当 x0，x 1x2（x）1（x）2，当且仅当 x1 时取等号，所以 x1x2.故 f(x)x1x的值域为(，22，)考点一 利用基本不等式求最值
5、【例 1】(1)4a2a 的取值范围是_(2)已知 x0，y0，且 xy1，则3x4y的最小值是_(3)设 x，y 为实数，若 4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_【解析】(1)当 a2 时，a20，则 4a2a 4a2a2224a2（a2）2 2226，当且仅当 4a2a2，即 a4 时等号成立，当 a2 时，a20，4a2a42a（2a）2242a（2a）22222，当且仅当 42a2a，即 a0 时，等号成立 综上知 4a2a 的取值范围是(，26，)(2)x0，y0，xy1，3x4y(xy)3x4y 3yx 4xy 723yx 4xy 774 3，当且仅当3yx 4xy 且 xy
6、1，即 x32 3，y42 3时等号成立，即3x4y的最小值是 74 3.(3)由 4x2y2xy1 得(2xy)23xy1，(2xy)213xy1322xy1322xy22，(2xy)285，解得2 1052xy2 105，2xy 的最大值是2 105.【答案】(1)(，26，)(2)74 3(3)2 105【反思归纳】跟踪训练 1(1)(2019佛山模拟)已知正实数 x，y 满足 xy1，则xyy yxx 的最小值为_(2)(2019榆林模拟)已知 x，yR，且x3y41，则 xy 的最大值为_【解析】(1)依题意知，xyy yxx 1y2x x2y 122y2x x2y 4，当且仅当 x
7、y1 时取等号，故xyy yxx 的最小值为 4.(2)因为 1x3y42x3y42xy12xy3，所以 xy3，当且仅当x3y4，即 x32，y2 时取等号，故 xy 的最大值为 3.【答案】(1)4(2)3考点二 利用基本不等式证明简单的不等式【例 2】已知 a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8.(2)11a 11b 9.【证明】(1)1a1b 1ab21a1b，ab1，a0，b0，1a1baba abb 2abba224，1a1b 1ab8当且仅当ab12时等号成立.(2)法一：a0，b0，ab1，11a1aba 2ba，同理 11b2ab，11a 11b 2ba 2ab
8、52baab 549.11a 11b 9当且仅当ab12时等号成立.法二：11a 11b 11a1b 1ab，由(1)知，1a1b 1ab8，故11a 11b 11a1b 1ab9.【反思归纳】跟踪训练 2 已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：1a1b1c9.【证明】a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 3baab caac cbbc 32229，当且仅当 abc13时，取等号考点三 基本不等式的实际应用【例3】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(
9、阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|x(x1)，求公园 ABCD所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？【解析】(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，由 a2x4000，得 a20 10 x.则 S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a160 4000(8x20)20 10 x 160 80 102 x 5x 4160(x1)(2)80 102 x 5x 416080 1022
10、 x 5x4160160041605760.当且仅当 2 x 5x，即 x2.5 时，等号成立，此时 a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 应设计为长100 米，宽 40 米【反思归纳】跟踪训练3 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解析】设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 Sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3200，由基本不等式得 32002 40 x90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则S6 S1600，即(S10)(S16)0，故 0 S10，从而0S100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40 x90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为15 米课时作业
