1、广东省佛山市第一中学、中山市中山纪念中学2015-2016学年高二下学期联考数学一、选择题：共12题1已知为虚数单位,复数对应的点是对应的点是,则A.0B.iC.1D.1+i【答案】B【解析】本题主要考查复数的四则运算.由已知=i.故选B.【备注】本题需要熟练掌握复数的几何表示.2若,则A.6B.4C.3D.2【答案】D【解析】本题主要考查定积分.,可得a=2.故选D. 3射击比赛中,每人射击3次,至少击中2次才合格.已知某选手每次射击击中的概率为0.4,且各次射击是否击中相互独立,则该选手合格的概率为A.0.064B.0.352C.0.544D.0.16【答案】B【解析】本题主要考查n次独立
2、重复试验的概率.击中2次或3次即为合格,所以合格概率为. 4用数学归纳法证明不等式“(n2,nN)”时的过程中,由nk到nk1时,不等式的左边A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项【答案】C【解析】当nk时,左边.当nk1时,左边.故由nk到nk1时,不等式的左边增加了两项,又减少了一项. 5如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查古典概型.每条棱上有3个两面涂色,12条棱上共有36个两面涂色,所以概率为故选C.
3、6除以100的余数是A.1B.9C.11D.91【答案】D【解析】本题主要考查二项式定理的应用.=除以100余,+除以100余,-909除以100余91.故选D. 7已知正方体的棱长为1,点在线段上运动,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查空间向量.以D为原点,以DA,DC,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),(0,1,1),P(a,a,1),所以则故选D. 8若函数在区间上单调递增,则的取值范围是A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)【答案】D【解析】本题主要考查导数的应用.若函数在区间上单调递增,则解得k故选D. 9用数字1、
4、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2、4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为A.32B.36C.42D.48【答案】A【解析】本题主要考查排列组合.当5在十位或千位时有=8种情况,当5在个位或万位时有种情况,故这样的五位数共有32个.故选A. 10双曲线C的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质.由题意得抛物线的焦点为(1,0),;即c=1；因为是以为底边的等腰三角形，所以, 解得；所以可得A(1,2), ;即，解得;所以双
5、曲线C的离心率. 选B. 11已知=,则A.18B.36C.135D.144【答案】A【解析】本题主要考查二项式定理.=(x-1)+2展开式中含有的项为+=18故选A. 12已知函数,存在,使得,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查导数的应用.当xa-1时单调递减.若0a则有不成立;若10,得-1x1;令𝑓(𝑥)0,得x1.所以,𝑓(𝑥)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(,1),(1,+).(2)方程只有一个实根,即函数的图象与轴只有一个交点,所以有则的取值范围是(,2)(2,+).【解析】本
6、题主要考查导数在研究函数中的应用.(1)根据导数的几何意义求出b的值,然后利用导数求单调区间;(2)根据单调性分析图象的特点即可. 18某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:该福利彩票中奖概率为0.2;每张中奖彩票的中奖奖金有5元,10元和100元三种;顾客购买一张彩票,获得10元奖金的概率为0.08,获得100元奖金的概率为.(1)若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票,求其在第3天才中奖的概率;(2)福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展,应如何设定的取值.【答案】(1)记第i天中奖为,第3天才中奖为事件A,则.所以该顾客第3天才中奖的概率为0.128,(2)
7、设卖出一张彩票可能获得的资金为,则可以取,的分布列为:所以,=,令,得,所以当时,福彩中心可以获取资金资助福利事业持续发展.【解析】本题主要考查独立事件的概率和对立事件的概率及期望.(1)利用相互独立事件的概率计算即可;(2)求卖出一张彩票可能获得的资金的分布列,然后求其期望即平均值,令其大于0即可. 19如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.()证明:DE平面PCD;()求二面角A-PD-C的余弦值.【答案】()由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE.由CE=2,CD=DE=得CDE为等腰直角三
8、角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD.()由()知,CDE为等腰直角三角形,DCE=.如答(19)图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=得DFAC,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),=(-1,-1,3),=(,-1,0).设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得故可取n1=(2,1,1).由(
9、)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=,故所求二面角A-PD-C的余弦值为.【解析】本题主要考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量的应用,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力.()要证明DE平面PCD,可转化为证明DECD与DEPC;()建立空间直角坐标系,将问题转化为求平面PAD与平面PCD的法向量的夹角的余弦值.【备注】高考对立体几何的考查沿袭了历年的考法,第()小问为证明,第()小问为计算,第()小问一般利用传统法结合空间直线、平面间的平行与垂直的判定定理与性质定理加以证明,第()小
10、问一般通过建立空间直角坐标系来进行求解.20(1)若,求证:;(2)若,且,求证:.【答案】(1)+当且仅当即时取等号.(2)由(1)知:当且仅当时,即时取等号.【解析】本题主要考查不等式的证明.(1)利用重要不等式证明不等式即可;(2)利用基本不等式证明不等式即可.【备注】利用基本不等式时必须注意不等式成立条件.21已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)若不垂直于x轴的直线与椭圆交于两点,且线段的垂直平分线经过点,求为原点)面积的最大值.【答案】(1)根据已知菱形的对角线分别为椭圆的长轴与短轴,两条对角线分别为2与2,所以a=,b=1.所以椭
11、圆方程为.(2)当直线AB的斜率为0时,设AB:,代入椭圆方程,得,所以面积,当时,取最大值.当直线的斜率不为0时,则设的方程为,联立,得:,设,则,所以,又,化简得到,即,得到,原点到直线的距离为,化简得到,因为,所以当时,即时,取得最大值综上,面积的最大值为,【解析】本题主要考查椭圆方程及直线与椭圆的位置关系.(1)根据已知求出a,b的值即可;(2)根据直线的斜率分情况设出直线方程,然后与椭圆方程联立消去y,根据根与系数的关系,求出面积的表达式,然后根据二次函数的性质求出面积的最大值即可.【备注】在解决直线与椭圆位置关系时必须考虑直线的斜率情况.22已知函数,曲线在处的切线方程为l.(1)求证:当时,图象在l下方;(2)若,求证:.【答案】(1),所以l:设,当时,单调递减,又,所以单调递减,又,所以,即图象在l下方.(2)由(1)知:,则 ,设,当时,所以在时单调递增,而,所以,即在时恒成立,所以,所以,即.于是,所以.【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用及在证明不等式中的应用.(1)根据导数的几何意义求出直线l的方程,然后构造新函数,利用导数比较两函数值的大小即可;(2)根据已知构造新函数,利用其导数分析单调性证明不等式即可.
