1、高考资源网() 您身边的高考专家2.4.2抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1掌握抛物线的几何性质(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1通过抛物线几何性质的应用,培养学生的数学运算核心素养2通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习,提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率
2、e12已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:(1)y1y2p2,x1x2;(2)|AB|x1x2p,|AF|x1;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数,即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时,若0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若0时,直线与抛物线有一个公共点;若0),由顶点到准线的距离为2知p4,故选C3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1x26,则|
3、AB|()A10 B8C6 D4B|AB|x1x2p6284已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|2,则|BF|_2F(1,0),由抛物线定义得A点横坐标为1AFx轴,|BF|AF|2抛物线几何性质的应用【例1】(1)等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2 Dp2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2y24相交的公共弦长等于2,求这条抛物线的方程(1)B由抛物线的对称性质及OAOB知,直线OA的方程为yx,由得A(2p,2p),则B(2p,2p),所以|AB|4p,所
4、以SABO4p2p4p2,选择B(2)解:设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0),交点A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)(y20)的焦点时,弦长|AB|x1x2p(3)“中点弦”问题解题策略两种方法2已知抛物线方程为y22px(p0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|p,求AB所在的直线方程解由题意知焦点F,设A(x1,y1),B(x2,y2),若ABx轴,则|AB|2p0),则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y24x,直线l过定点P
5、(2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y24x只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?思路探究:(1)直线ykxk过定点(1,0),根据定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立,根据“”的正负判断(1)C直线方程可化为yk(x1),因此直线恒过定点(1,0),点(1,0)在抛物线y22px(p0)的内部,因此直线与抛物线有一个或两个公共点,故选C(2)解:由题意,直线l的方程为y1k(x2),由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0当k0时,由方程得y1,把y1代入y24x,得x,这时,直线l与抛物线只有一个公共点当k0时,方程的判别式为16(2k2k1)a由0,即2
6、k2k10,解得k1或k,所以方程只有一个解,从而方程组(*)只有一个解,这时直线l与抛物线只有一个公共点b由0,即2k2k10,解得1k,于是,当1k,且k0时,方程有两个解,从而方程组(*)有两个解,这时直线l与抛物线有两个公共点c由0,解得k于是当k时,方程没有实数解,从而方程组(*)没有解,直线l与抛物线无公共点综上,当k0或k1或k时,直线l与抛物线只有一个公共点当1k,且k0时直线l与抛物线有两个公共点当k时,直线l与抛物线无公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:ykxb,抛物线:y22px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2(2kb2p)xb20.(1)若
7、k20,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0),则由点P(1,2)在抛物线上,得222p1,解得p2,故所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1(2)证明:因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPAkPB,即又A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,所以x1,x2,从而有,即,得y1y24,故直线AB的斜率kAB11若本例题改为:如图所示,已知直线l:y2x4交抛物线y24x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使PAB的面积最大,并求出
8、这个最大面积如何求解?解由解得或由图可知,A(4,4),B(1,2),则|AB|3设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则d|(y01)29|2y04,(y01)290)(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),直线AB:xmy1(m0),则消去x得y24my40于是,有yM2m,xMmyM12m21,即M(2m21,2m)同理,N因此,直线MN的斜率kMN,方程为y2m(x2m21),即mx(1m2)y3m0显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN过定点(3,0)应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用
9、点差法较简便(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值1讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线的相交弦问题共有两类,一类是过焦点的弦,一类是不过焦点的弦解决弦的问题,大多涉及到抛物
10、线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立,转化为关于x或y的一元二次方程,然后利用根与系数的关系,这样避免求交点尤其是弦的中点问题,还应注意“点差法”的运用3判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法:利用图象,数形结合,判断直线与抛物线的位置关系,但有误差影响判断的结果(2)代数法:设直线l的方程为ykxm,抛物线的方程为y22px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式:Ax2BxC0(或Ay2ByC0)相交:有两个交点:有一个交点:A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合,即相交);相切:有一个公共点,即相离:没有公共点,即直线
11、与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28yC设抛物线方程为y22px或y22px(p0),通径为2p8,p4,所以抛物线方程为y28x或y28x2设A,B是抛物线x24y上两点,O为原点,若|OA|OB|,且AOB的面积为16,则AOB()A30B45C60 D90D由|OA|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称,设A,B,则SAOB2a16,解得a4,所以|AB|8,|OA|OB|4,所以AOB903过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条B当直线垂直于x轴时满足条件,当直线不垂直于x轴时,设直线方程为ykx1,满足条件的直线有两条,共三条满足题意的直线4过抛物线y28x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值解由抛物线y28x知,p4设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义知,|AF|x1,|BF|x2,所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p,所以x1x2|AB|p由条件知3,则x1x26,所以|AB|p6,所以|AB|10- 16 - 版权所有高考资源网