1、四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第一次在线月考试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2017成都市二诊）已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，从而可求.【详解】，故，故选B.【
2、点睛】本题考察集合的运算-并，为基础题.2.已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.【详解】 因为为纯虚数，所以，得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.3.（2017合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】因用系统抽样的方法抽取，所以900人分
3、成45组，每组20人，每组取1人，因此可用等差数列的通项公式计算落在区间的人数.【详解】900人分成45组，每组20人，每组取1人，其编号构成等差数列，故编号落在区间的人数为，故选C.【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；（3）分层抽样就是按比例抽取.4.已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【详解】因为双曲线的两条渐近线为，因为两条渐近线互相垂直，所以，得因为双曲线焦距为，所以由可知
4、，所以，所以实轴长为.故选B项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.5.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（ ）x196197200203204y1367mA. 8.3B. 8C. 8.1D. 8.2【答案】B【解析】【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出的平均数，即可求出值【详解】根据题意可得，.线性回归方程为故选B.【点睛】本题考查的知识是线性回归方程.解答本题的关键利用回归直线过样
5、本中心点.6.函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的最值得出，根据周期得出，利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算.【详解】由函数的最小值可知：，函数的周期：，则，当时，据此可得：，令可得：，则函数的解析式为：，.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.7.已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数运算的公式化简为形式相同的表达式，由此判断出的大小关系.【详解】依题意得，而，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8.
6、已知奇函数满足，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意，故函数是周期为4的函数，由，则，即，又函数是定义在R上的奇函数，则，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.9.已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )A. 3B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据求得的值，利用点差法求得直线的斜率.【详解】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得
7、，即直线的斜率为，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.10.若函数的最小正周期为，则在上的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据最小正周期求出,得到函数解析式,再根据定义域为求出函数值域.【详解】解：因为,所以,因为,所以,所以.故选：B【点睛】本题考查三角函数的周期与值域,考查运算求解能力.11.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，, 则球的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 中， ，由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径）， 又球心到平面的距离 球的半径 ，
8、故球O的表面积 故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键12.已知函数，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：的图象与的图象无公共点, 则等价为或恒成立, 即或恒成立, 即或恒成立, 设,则函数的定义域为函数的导数,当时, 故时,时, 即当时, 函数取得极小值同时也是最小值, 设,则在上为减函数,最大的值为,故的最小值,则若，则,若恒成立, 则不成立, 综上，故选B考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性、求
9、函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合；讨论最值或恒成立；讨论参数本题是利用方法求得的取值范围的二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，的夹角为，.若，则_【答案】【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】向量，则，即：，整理可得：，其中，据此有：，解得：.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.设等比数列的前项和为.若，则_【答案】-2【解析】【分析】先
10、根据求出等比数列的公比，然后化简可得结果【详解】设等比数列的公比为当时，不成立当时，由得，整理得，即，解得所以故答案为【点睛】利用公式求等比数列的前项和时，在公比不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为和两种情况求解，考查计算能力，属于基础题15.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则的最小正值为_【答案】【解析】【分析】求出平移后的解析式，根据余弦函数的对称轴公式列出方程解出【详解】将向右平移个单位长度后得到函数的图象关于直线对称解得当时，取得最小正值为故答案为【点睛】本题主要考查的是函数的图像变换以及三角函数的应用，易错点有两个方面：一是三角函数图象
11、平移法则应用错误；二是不会利用对称轴进行转化，纠错方法是正确理解三角函数“左加右减，上加下减”的平移法则，熟记正弦函数，余弦函数的对称轴求解方法，并通过训练提高应用能力16.（2017.福建省质检）椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为_【答案】.【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案【详解】如图，由抛物线E：y2=4x，得2P=4，p=2，F（1，0），又Q（0，1）且QFQP，QP所在直线斜率为1，则QP所在直线方程为y=x+1，联立，解得P（1，2），则2a
12、=，a=，则e=故答案为【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.锐角中，角的对边分别为，的面积为，（1）求的值；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由三角形面积公式得，化简整理得（2）由（1）结论及，可得，可求得，由余弦定理可得，结合均值定理可得，即【详解】依题意，得，即
13、由正弦定理得：，（2），为锐角，由余弦定理得，即，整理得：，即，当且仅当时取等号故的最大值为6.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理及均值定理，解题时需注意面积公式的选择，考查综合运用知识解题的能力，属中档题18.在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，且，为的中点，为上一点，若三棱锥的体积为，求的长;证明：平面【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）因，而可求，故能求得.（2）连接交于，连接，可证明即可证明平面.【详解】（1）设，三棱锥的高为，解得，即.（2）如图，连接交于，连接.为 的中点， 又，而平面，平面，平面.【点睛】点到平面的距离的计算，可利用题设中的线面垂直，也
14、可以利用已知的面面垂直构建线面垂直.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：123452427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模
15、型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据（2）建立关于的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）（参考公式：，【答案】(1)见解析；(2) 网购人数约为91人【解析】【分析】（1）由已知数据求得r值，由r值接近1可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系（2）求出与的值，得到线性回归方程，取t6求得y值得答案【详解】（1）由题知，则 .故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）由（1）得，.所以与的回归方程为.将带入回归方程，得，所以预测第
16、6年该公司的网购人数约为91人.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题20.已知函数.（1）对于，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，令，求的最大值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，参变分离得，令，利用导数求出函数在上的最小值即可求出参数的取值范围；（2）当时，求出的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）由，得：，因为，所以，令，再令，所以在上单调递减，所以，所以，则在上单调递减，所以，所以.（2）当时，由，解得，当时，上单调递增；当时，在上单调递减；.【点睛】本题考查利用导数研究函数的
17、单调性、最值，属于中档题.21.设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】【分析】设直线方程为，联立直线方程与抛物线方程可得，由直线垂直的充分必要条件可得.联立直线方程与椭圆方程可得，.（1）由斜率公式计算可得.（2）由弦长公式可得.且点到直线的距离，故，换元后结合均值不等式的结论可知面积的最大值为.【详解】设直线方程为，联立和，得，则，.由，所以，得联立和，得，所以，.由，得.（1）因为，所以.（2）根据弦长公式，得：.根据点到直线距离公式，得，所以，设
18、，则，所以当，即时，有最大值.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.【答案】(1)的直角坐标方程为，的
19、直角坐标方程为.(2).【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，过点，设直线参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关
20、键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分，三种情况去绝对值解不等式即可；（2）由柯西不等式，有可得a2+b2+c2的最小值【详解】（1）所以等价于或或，解得或，所以不等式的解集为或（2）由（1）可知，当时，取得最小值，所以，即故，由柯西不等式，整理得，当且仅当，即，时等号成立所以的最小值为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题.
