1、宁夏六盘山高级中学2020-2021学年第一学期高三期中测试卷学科：文科数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合U=-2,-1,0，1，2，3，A=-1,0，1，B=1,2，则U(AB)=()A. -2,3B. -2,2，3)C. -2,-1,0，3D. -2,-1,0，2，32. 命题“x0，使2x3x”的否定是()A. x0，使2x3xB. x0，使2x3xC. x0，使2x3xD. x0，使2x3x3. 复数z=10i3+i的共轭复数是()A. 1+3iB. -1+3iC. 1-3iD. -1-3i4. 设m、n是空间中
2、不同的直线，、是不同的平面，则下列说法正确的是()A. 若l/m，m，则l/B. 若m，n，/，则m/nC. 若/，m，则m/D. 若m，n，m/，n/，则/5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且sin2C=sinAsinB，则ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 8+163 B. 8+163 B. 12+6 D. 43+47. 设Sn为等差数列an的前n项和，若a8a7=135,则S15S13=( )A. 1B. 2C. 3D. 4
3、8. 如图，在ABC中，点D是边BC的中点，AG=2GD，则用向量AB,AC表示BG为()A. BG=-23AB+13ACB. BG=-13AB+23ACC. BG=23AB-13ACD. BG=23AB+13AC9. 已知平面向量a,b满足a=(1,3)，|b|=3，a(a-2b)，则|2a-3b|=()A. 73B. 7C. 4D. 510. 关于函数f(x)=3-2cosx(cosx-sinx)，有以下4个结论：f(x)的最小正周期是；f(x)的图象关于点(-8,0)中心对称；f(x)的最小值为2-2；f(x)在区间(6,512)内单调递增其中所有正确结论的序号是()A. B. C. D
4、. 11. 已知数列an满足a1=12，an+1=an+1n2+n，则an=()A. 32-1nB. 2-3n+1C. 1-1n+1D. 32+1n12. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=16，且f(x)的导函数f(x)4x-1，则不等式f(x)2x2-x+1的解集为()A. x|-3x-3C. x|x3D. x|x3二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知tan=2，则cos2=_14.数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-2，则数列an的通项公式an=_15.正四棱锥P-ABCD中，PA=3，AB=2，则PA与平面ABCD所成角的正弦值为_16.已知函数f(x)=ex,
5、x0|lnx|,x0，若方程f(x)=x+m有两个不同根，则实数m的最小值为_三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2bsinA(1)求B的大小；(2)若b2=ac，求A的大小18.已知等比数列an的公比q1，a1=1，且2a2，a4，3a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn=2nan，求数列bn的前n项和Tn19. 已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx(1)若是第二象限角，且sin=63，求f()的值；(2)当x0,2时，求函数f(x)的值域20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为
6、平行四边形，点M为PC中点，且PAB=PDC=90(1)证明：PA/平面BDM；(2)证明：平面PAB平面PAD21.已知函数f(x)=x-1，g(x)=lnx+1()求证：f(x)=g(x)有两个不同的实数解；()若g(x)m-g(x)f(x)在x1时恒成立，求整数m的最大值选考题 (共10分) 考生在22、23题中任选一题作答，如果多做、则按所做第一题计分22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=tcosy=tsin(t为参数,t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=23cos(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C2与C1相交于
7、点A，C3与C1相交于点B，A、B都异于原点O，求|AB|的最大值23.已知函数f(x)=|2x-3|+2|x+1|(1)求不等式f(x)0，使2x3x，故选：A根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础3.【答案】C【解析】解：复数z=10i3+i=10i(3-i)(3+i)(3-i)=10+30i10=1+3i，故它的共轭复数为1-3i，故选：C利用两个复数代数形式的乘除法法则以及虚数单位i的幂运算性质，化简复数z，从而求得它的共轭复数本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位
8、i的幂运算性质，属于基础题4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题在A中，l/或l；在B中，m/n或m与n异面；在C中，由面面平行的性质定理得m/；在D中，与平行或相交【解答】解：由m、n是空间中不同的直线，、是不同的平面，知：在A中，若l/m，m，则l/或l，故A错误；在B中，若m，n，/，则m/n或m与n异面，故B错误；在C中，若/，m，则由面面平行的性质定理得m/，故C正确；在D中，若m，n，m/，n/，则与平行或相交，故D错误故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解
9、三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题由已知利用等差数列的性质可得C=60，由正弦定理可得c2=ab，根据余弦定理可求a=b，即可判断三角形的形状【解答】解：由题意可知，C=60，c2=ab，则c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab，所以a=b，所以a=b=c，故ABC的形状为等边三角形故选C6.【答案】A【解析】解：三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积V=1213224+1312424=8+163，故选：A由三视图可得三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，利用体积公式即可计算本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题时应
10、根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题直接利用等差数列的性质结合a8a7=135求得S15S13【解答】解：在等差数列an中，由a8a7=135，得S15S13=15a1+a15213a1+a132=15a813a7=1513135=3故选C8.【答案】A【解析】解：由题意可得，BG=BA+AG=BA+23AD=BA+2312(AB+AC)，=BA+13AB+13AC=13AC-23AB故选：A由已知结的合向量加法的三角形法则及向量共线定理即可求解本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应
11、用9.【答案】A【解析】解：|a|=2，|b|=3，a(a-2b)，a(a-2b)=a2-2ab=4-2ab=0，ab=2，|2a-3b|=(2a-3b)2=4a2-12ab+9b2=16-24+81=73故选：A可求出|a|=2，并可得出a(a-2b)=0，从而得出ab=2，然后根据|2a-3b|=(2a-3b)2进行数量积的运算即可求出答案本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题10.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角恒等变形公式以及三角函数的图像和性质，属于基础题首先根据三角恒等变形公式化简f(x)，再利用三角函数的图像和性质逐个判断
12、即可【解答】解：f(x)=3-2cos2x+2sinxcosx=3-(1+cos2x)+sin2x=2sin(2x-4)+2，T=22=，正确；，f(-8)=2sin2(-8)-4+2=-2+20，错误；，f(x)的最小值为2-2，正确；，因为2x-4(12,712)，y=sinx在(12,712)上不单调，错误故选B11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列的递推关系求数列的通项，裂项相消法求和法，属中档题解题的关键是利用已知条件得到an+1-an=1n2+n=1n-1n+1，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和【解答】解：由an+1=an+1n2+n得：an+1-an=1n2
13、+n=1n-1n+1，即an-an-1=1n-1-1n，所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=12+1-12+12-13+1n-1-1n=32-1n故选A12. 【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键根据题意，设g(x)=f(x)-2x2+x-1，求导分析可得g(x)0，即函数g(x)在R上为减函数，则原不等式可以转化为g(x)g(3)，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，设g(x)=f(x)-2x2+x-1，其导函数g(x)=f(x)-4x
14、+1，又由f(x)4x-1，即f(x)-4x+10，则g(x)0，即函数g(x)在R上为减函数，又由f(3)=16，则g(3)=f(3)-18+3-1=0，f(x)2x2-x+1f(x)-2x2+x-10g(x)3，则不等式f(x)3；故选：C13.【答案】-35，13【解析】解：tan=2，则cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-41+4=-35tan(-4)=tan-tan41+tantan4=2-11+21=13故答案为：-35；13利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问本题考查二倍角公式的应用，
15、两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查14.【答案】2n,nn+1【解析】【分析】本题主要考查已知前n项和时数列通项公式的求解，考查裂项相消法在数列求和中的应用，熟练掌握等差、等比的性质和公式是准确、快速解题的关键【解答】解：先利用Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2做差即可求解数列an的通项公式：数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-2，当n2时，Sn-1=2an-1-2，两式做差得an=2an-2an-1，即an=2an-1，当n=1时，得a1=2数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n；根据bn=log2an，求解数列bn的通项公式；
16、可得bn是等差数列，即可用裂项相消法求解数列1bnbn+1前n项和Tn的值：bn=log2an=log22n=n，1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1，数列1bnbn+1的前n项和Tn=1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1故答案为2n,nn+115.【答案】7316.【答案】1【解析】解：先作出函数f(x)=ex,x0|lnx|,x0的图象，再结合图象平移直线y=x+m，由图象知f(x)=x+m有两个零点时，须m1，故m的最小值为1画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可本题考查函数的零点与方程的根的关系，
17、考查转化思想以及计算能力，是中档题17.【答案】解：(1)锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2bsinA所以3sinA=2sinBsinA，由于sinA0，整理得：sinB=32因为在锐角三角形ABC中，所以B=3；(2)由于：b2=a2+c2-2accosB=ac，所以a2-2ac+c2=0，解得：a=c，故ABC为等边三角形，所以A=3【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出A的值；(2)由(1)和余弦定理即可求出结果18.【答案】解：(1)由2a2，a4，3a
18、3成等差数列，得2a4=2a2+3a3，即2q3=2q+3q2，q1，解得q=2an=2n-1；(2)bn=2nan=2n2n-1=n2nTn=121+222+323+n2n，2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1，-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1，Tn=(n-1)2n+1+2【解析】(1)由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得q，则通项公式可求；(2)把数列an的通项公式代入bn=2nan，再由错位相减法求数列bn的前n项和Tn本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题19
19、.【答案】解：(1)因为是第二象限角，且sin=63，所以cos=-33，所以f()=13-36333=1-63(2)f(x)=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x2+32sin2x=sin(2x+6)+12，由x0,2，可知2x+66,76，所以-12sin(2x+6)1，所以f(x)0,32.【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和函数思想，属于基础题(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，代入所求即可计算得解(2)利用三角函数恒等变换的应用可求f(x)=sin(2x+6)+12，由已知可求范围2x+66,76，利用正弦函数的
20、性质即可求其值域20.【答案】证明：(1)连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，在PAC中，又M为PC中点，所以OM/PA，又PA平面BDM，OM平面BDM，所以PA/平面BDM(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以AB/CD，又PDC=90即CDPD，所以ABPD，又PAB=90即ABPA，又PA平面PAD，PD平面PAD，PAPD=P，所以AB平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD【解析】(1)连接AC交BD于点O，连接OM，证明OM/PA，即可证明PA/平面BDM(2)因证明ABPD，ABPA，推出AB平面PAD，然后证明平面PAB平面P
21、AD本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力21.【答案】解：()证明：由f(x)=g(x)得x-lnx-2=0，令h(x)=x-lnx-2，则h(x)=1-1x=x-1x，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增所以h(x)的最小值为h(1)=-1m-g(x)f(x)在x1时恒成立，即xlnx+xm(x-1)在x1时恒成立，所以m1时恒成立，设m(x)=xlnx+xx-1，则m(x)=x-lnx-2(x-1)2，由()m(x)=0有唯一零点x01，即x0-lnx0-2=0，又h(3)=1-ln30，所以x0(3,4)，且当
22、x(1,x0)时，m(x)0，当x(x0,+)时，m(x)0，所以m(x)min=m(x0)=x0(lnx0+1)x0-1=x0(x0-1)x0-1=x0，由题意，得mm(x-1)在x1时恒成立，即m1时恒成立，设m(x)=xlnx+xx-1，根据函数的单调性求出m的最大值即可本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题22.【答案】解：(I)由曲线C2：=2sin，化为2=2sin，x2+y2=2y同理由C3：=23cos.可得直角坐标方程：x2+y2=23x，联立x2+y2-2y=0x2+y2-23x=0，解得x=0y=0或x=32y=32，C2与
23、C3交点的直角坐标为(0,0)，(32,32).(2)曲线C1：x=tcosy=tsin(t为参数,t0)，化为普通方程：y=xtan，其中0，2；当=2时，为x=0(y0)，其极坐标方程为：=(R,0)，A，B都在C1上，A(2sin,)，B(23cos,).|AB|=|2sin-23cos|=4|sin(-3)|，当=56时，|AB|取得最大值4【解析】(I)由曲线C2：=2sin，化为2=2sin，把2=x2+y2y=sin代入可得直角坐标方程同理由C3：=23cos.可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标(2)由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtan
24、，其中0，2；=2时，为x=0(y0).其极坐标方程为：=(R,0)，利用|AB|=|2sin-23cos|即可得出本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.【答案】解：(1)f(x)=|2x-3|+2|x+1|=1-4x,x-15,-1x324x-1,x32，f(x)9等价为x-11-4x9或-1x3259或x324x-19，解得-2x-1或-1x32或32x52，故原不等式的解集为(-2,52)；(2)因为0x1，所以f(x)=5，则f(x)|2x+a|对x0,1恒成立，等价为|2x+a|5对x0,1恒成立，即-52x+a5，即a-5-2xa5-2x对x0,1恒成立，所以-5a3，则a的取值范围是-5,3【解析】(1)将f(x)化为分段函数的形式，然后根据f(x)9，利用零点分段法解不等式即可；(2)结合(1)可得|2x+a|5对x0,1恒成立，然后得到a-5-2xa5-2x对x0,1恒成立，再求出a的取值范围本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题
