1、20222023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1 若i为虚数单位，则()12的值为BA1B1CiDi2 已知a、b是不共线的向量，且3a4b，2a6b，2a4b，则DAA、B、D三点共线BA、B、C三点共线CB、C、D三点共线DA、C、D三点共线3 已知a(2，1)，b(1，0)，若(atb)(ab)，则实数t的值为DA5B2C1D34 设复数z满足|zi|zi|2，其中i为虚数单位，则|z|的最大值为AA1B2CD5 海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛
2、望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离为DABCD6 已知tan()、tan()是关于x的方程x2mx40的两根，且tan，则m的值为AA12BC4D7 为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面将地球看作是一个球(球心为O，半径为rkm)，地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A的纬度为北纬30，tan，则该通信卫星的轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)
3、为CA2rB3rC6rD7r8 已知ABC中，AC2，sinAtanB，A(0，则边AB的最小值为BA2B3C2D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分请把答案填涂在答题卡相应位置上）9 设函数，则下列结论正确的是ADA的最小正周期是 B是的一个对称轴C的最小值是 D若在上单调递减，则最大值是10如图，若ABC的外接圆为O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是BCDA若O的半径为定值，则为定值B若CA、CB的长度为定值，则为定值CD2211如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A
4、C、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是ACAC1、O、A、M四点共面B直线C1O与直线A1C为异面直线C直线A1A与直线OM相交DD1、D、O、M四点共面12在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且tanB是关于x的方程sinCx22(1cosC)xsinC0的一个根，则ACDA是方程的另一个根Btan2Btan2C角B的取值范围为(，)D的取值范围为(3，2)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13写出同时满足条件：“(1i)zR”、条件：“|z|3”的一个复数z_44i（答案不唯一）14若si
5、nsin，coscos，则cos()_15空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定_个平面1116在ABC中，若BCAB，2，2，则_3四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(本小题满分10分)关于复数zabi(a、bR，i为虚数单位)，有下列四个命题：a2；b；z4；z|；且上述四个命题中只有一个是假命题(1)请问假命题是哪一个，并求出复数z；(2)设复数z1、z2满足|z1|z2|z|，|z1z2|2，求|z1z2|解：(1)由得，(abi)(abi)4，即a2b24；由得，2a；因此、均
6、有矛盾，所以假命题为，即皆成立，所以a21，即a1，所以z1i；5分 (2)由(1)得，|z1|z2|z|2；设复数z1、z2在复平面内分别对应向量、，则|2，|2，所以2224，即24；又|222212，则|2，即|z1z2|210分18(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥A-BCD中，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点(1)若ABCD，求EF与AB所成的角的大小；(2)若ABCD2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60，求线段EF的长解：(1)取BD的中点G，连接EG、FG；因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB；又ABCD，所以EGGF；因
7、为ABCD，所以EGGF；在EGF中，EGGF，EGGF，所以EGF为等腰直角三角形，得EFG45；因为GFAB，所以EF与AB所成的角即为EFG，即EF与AB所成的角的大小为45；4分(2)因为ABCD2，所以EGGF1；因为AB与CD所成角的大小为60，所以EGF60或120；6分在EGF中，当EGF60时，此三角形为等边三角形，故EF1；9分在EGF中，当EGF120时，由余弦定理得，EF2EG2GF22EGGFcos1203，故EF12分19(本小题满分12分)在ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3a2b2c2(1)式子tanBtanA2tanAtan2B的值为是
8、否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；(2)若C120，求cosA的值解：(1)在ABC中，由余弦定理得，c2a2b22abcosC，又因为3a2b2c2，所以2a22abcosC，即2a2bcosC，又由正弦定理得，2sinA2sinBcosC，又ABC，则2sin(BC)2sinBcosC，即2sinBcosC2cosBsinC2sinBcosC，即4sinBcosC2cosBsinC，即tanC2tanB；所以tanBtanA2tanAtan2BtanBtanAtanAtanBtanCtanBtanAtanAtanBtanC2tanBtanC0，故为定值0；6分(2)同
9、(1)，由3a2b2c2及余弦定理可得，2a2bcosC，又C120，所以b2a，ca；由余弦定理可得，cosA12分20(本小题满分12分)在ABC中，已知(1)求的值；(2)求的最小值解：(1)在ABC中，因为，所以，即，即2；4分 (2)在ABC中，tanA2tanB，A、B均为锐角；因为CAB，所以tanCtan(AB)tan(AB)；故2，当且仅当tanB时取等号；所以的最小值为12分21(本小题满分12分)已知锐角ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a(tanAtanC)2btanA(1)求C的大小；(2)若ABC的面积为，求a的取值范围解：(1)在锐角ABC中，因为a(
10、tanAtanC)2btanA，所以a()2b，即a()2b，即a2b，又BAC，所以a2b，又由正弦定理得，2sinAsinB，又sinA、sinB0，所以cosC，又C(0，)，则C；4分 (2)在锐角ABC中，因为C，SABCabsinC，所以ab2，即b；因为a(tanAtanC)2btanA，所以tanA；因为ABC为锐角三角形，且C，所以A，即tanA；由得，1a212分22(本小题满分12分)我国油纸伞的制作工艺巧妙如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的BAC，且ABAC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动伞完全收拢时，伞圈D滑到D的位置，且A、B
11、、D三点共线，AD40cm，B为AD的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm(1)当伞完全张开时，求BAC的余弦值；(2)如图(2)，当BAC时，在线段AB、AC上分别取点M、N，使得AN4AM4t，0t5，连接MN交AD于点G，若AMN的面积为ABC面积的，求的值解：(1)当伞完全张开时，AD402416cm；当伞完全收拢时，因为B为AD的中点，所以ABBDAD20cm，即ABBD20cm；在ABD中，由余弦定理得，cosBAD；所以cosBACcos2BAD2cos2BAD1；4分(2)在ABC中，因为ABAC20，BAC60，所以ABC是边长为20的等边三角形；因为AN4AM4t，0t5，AMN的面积为ABC面积的，所以由SAMNSABC得，t4tsin60202sin60，即t4，所以，；设AD、BC交于点E，设，所以()5，又M、G、N共线，则51，即，即()；所以()()12分高一数学试题 第 8 页（共 8 页）学科网（北京）股份有限公司
