1、海南省海南中学2020届高三数学第四次月考试题（含解析）第卷一选择题1.设集合，则满足条件的集合的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出符合条件的集合，即可得出正确选项.【详解】因为集合，则满足条件时，集合中的个数至少有、，则符合条件的集合有：、，因此，满足题意集合的个数为，选D.【点睛】本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2.下列函数中，与函数有相同定义域的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域的要求分别判断已知和选项中的函数的定义域即可得到结果.【详解】函
2、数的定义域为，对于，的定义域为，错误；对于，的定义域为，错误；对于，的定义域为，正确；对于，的定义域为，错误.故选：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，属于基础题.3.“”是“关于的不等式的解集为空集”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】令可知不等式解集为空集，充分性成立；当不等式解集为空集时，必要性不成立，由此得到结果.【详解】当时，解集为空集，充分性成立；当的解集为空集时，解得：，必要性不成立，“”是“关于的不等式的解集为空集”的充分不必要条件.故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到一元二次
3、不等式的解的问题，属于基础题.4.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】由等差数列定义可设人所得橘子数分别为，由橘子总数可构造方程求得中位数.【详解】设个人所得橘子数为：，解得：，人所得橘子数的中位数为.故选：.【点睛】本题考查等差数列的应用问题，关键是能够根据等差数列的特点，采用待定系数法来求解，属于基础题.5.已知函数的
4、图象与直线在轴的右侧交点按横坐标由小到大的顺序记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简，结合图象可知，利用正弦型函数最小正周期的求法可求得结果.【详解】，则图象如下图所示：由图象可知：.故选：.【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解，关键是能够利用数形结合的方式确定所求距离为最小正周期.6.已知函数的图象如图所示，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据和函数图象可将不等式化为，由图象可知，解不等式求得结果.【详解】，则由图象可知：，解得：，实数的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查根据函数图象求解函数不等
5、式的问题，关键是能够将不等式化简为函数值的正负，从而确定自变量的范围.7.已知函数为奇函数，当时，且曲线在点处的切线的斜率是1，则实数（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性可求得时的解析式，根据切线斜率为可构造方程求得结果.【详解】当时，为奇函数，解得：.故选：.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题8.在等比数列中，已知，且，则正整数的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】可验证出当公比时不合题意；当时，由等比数列求和公式可构造方程求得公比，结合等比数列通项公式可求得结果.【详解】设等比数列的
6、公比为，当时，即，不合题意；当时，由得：，解得：，解得：.故选：.【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.9.如图所示，在中，设为的外心，向量，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取中点，根据平面向量线性运算将所求数量积化为，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取中点，连接，为的外心，为的垂直平分线，又，.故选：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化.10.已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，可将表示为关于的函数，利用导数可求得的最
7、小值，即为的最小值.【详解】设，即，设，则，令，则，单调递增，又，当时，即，则在上单调递减；当时，即，则在上单调递增；所以取得极小值，也是最小值，即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，关键是能够将所求最值转化为关于第三个变量的函数的形式，通过导数确定函数的单调性，进而确定最值点.11.（多选题）已知，为虚数单位，且，复数，则以下结论正确的是（ ）A. 的虚部为B. 的模为2C. 的共轭复数为D. 对应的点在第四象限【答案】BC【解析】【分析】由复数相等可构造方程求得，利用复数乘法运算求得；根据复数虚部定义、模长求解、共轭复数定义和对应点的坐标依次判断各个选项得到结果.【
8、详解】，解得：，.对于，的虚部为，错误；对于，正确；对于，的共轭复数为，正确；对于，对应，不在第四象限，错误.故选：.【点睛】本题考查复数相关定义的辨析，涉及到复数虚部定义、模长求解、共轭复数定义和对应点的坐标；关键是能够利用复数相等和复数乘法运算求得复数.12.（多选题）下列说法正确的是（ ）A. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均减少2.3个单位B. 两个具有线性相关关系的变量，当相关指数的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强C. 若两个变量的相关指数，则说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起的D. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为【答案】CD【解析】
9、【分析】根据回归直线、相关指数和残差的知识依次判断各个选项可得结果.【详解】对于，根据回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均减少个单位，错误；对于，当相关指数的值越接近于，两个变量的相关性就越强，错误；对于，由相关指数意义可知正确；对于，当解释变量时，预报变量，则样本点的残差为，正确.故选：.【点睛】本题考查线性回归中的相关命题的辨析，涉及到线性回归直线、相关指数和残差的意义与计算，属于基础题.13.（多选题）如图所示，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）A. B. 点必在线段上C. D. 平面【答案】BD【解析】【分析】根据三棱锥体积公
10、式求得，知错误；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到，垂直于平面的法向量，由此可确定的正误.【详解】对于，在平面上，平面平面，到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，错误；对于，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则，即，即三点共线，必在线段上，正确；对于，与不垂直，错误；对于，设平面的法向量，令，则，即，平面，正确.故选：.【点睛】本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.第卷二填空题14.已知（是常数，且）展开式的各项系数之和为64，则的值为_，展开式的中
11、间项为_【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】令，可利用各项系数和构造方程求得；根据展开式通项，代入即可得到中间项.【详解】令，则各项系数之和为，解得：；则展开式的通项公式为，当时，取得展开式的中间项为.故答案为：；.【点睛】本题考查二项式定理中根据各项系数和求解参数值、指定项的求解问题；关键是熟练应用赋值法解决与各项系数和有关的问题，并熟练掌握二项展开式的通项公式.15.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用诱导公式可求得结果.【详解】由二倍角公式知：，又，.故答案为：.【点睛】本题考查利用二倍角余弦公式和诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.16.
12、某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，且当不超过0.5时，预计年销售量增加的比例为，而当超过0.5时，预计年销售量不变已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量则本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式为_；为使本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例的取值范围为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据年利润的计算方法，分别在和两种情况下得到关系式，从而得到分段函数；根据，分别在每一段上解不等式求得结果
13、.【详解】当时，；当时，；年利润与投入成本增加的比例的关系式为.上年利润为，令，解得：；令，解得：（舍）；所求的取值范围为.故答案为：；.【点睛】本题考查构造合适的函数模型求解实际问题，涉及到分段函数模型的建立和不等式的求解问题，属于基础题.17.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】取中点，根据球的性质可知；利用线面垂直关系可确定所求角为，利用球的表面积可求得，结合勾股定理可求得，由此得到，从而确定结果.【详解】取中点，连接且，则为的中心，由球的性质可知：平面，又，为等边三角形，又平面，平面，平
14、面，平面，直线与平面所成角为.球的表面积为，又，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何中线面角的求解问题，涉及到三棱锥外接球问题的求解；解题关键是能够根据三棱锥外接球的性质和球的表面积确定球心位置和球的半径，进而得到所需的长度关系.三解答题18.设递增等比数列的前项和为，已知，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）令，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程组求得和，进而求得结果；（2）由（1）可确定，得到的符号；分别在和两种情况下求得结果即可.【详解】（1）由题意得：，设等比数列的公比为，则，解得：，是递增数列，；（2）由
15、（1）知：，当时，；当时，；当时，；当时，；【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前项和的求解；解题关键是能够根据通项公式确定数列中的项的符号，从而进行分段求解.19.在中，角所对的边分别是，且（1）若是等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据等差数列定义可用表示出，利用余弦定理构造方程可求得；（2）利用正弦定理可用表示出，利用两角和差正弦公式和辅助角公式化简可得到正弦型函数，利用整体对应的方式，结合正弦函数图象可确定最值.【详解】（1）成等差数列且公差为，解得：或，；（2）在中，由正弦定理得：，
16、当，即时，取得最大值【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形周长最值问题的求解，涉及到等差数列的定义、正弦定理和余弦定理、三角恒等变换相关公式的应用等知识；求解最值的关键是能够将周长表示为关于某一变量的正弦型函数的形式，利用整体对应的方式求得结果.20.已知直四棱柱，四边形为正方形，为棱的中点（1）求三棱锥的体积；（2）求证：；（3）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由，利用三棱锥体积公式可求得结果；（2）以为原点建立空间直角坐标系，根据可得结论；（3）根据异面直线所成角向量求法可求得结果.【详解】（1）四棱柱为直四棱柱，平面，又，；（2）
17、以为原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴可建立如下图所示的空间直角坐标系：则，；（3）由（2）得：，即异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法证明线线垂直、异面直线所成角的求解；考查学生的计算和求解能力，属于基础题型.21.某市在创建“全国文明卫生城市”的过程中，为了调查市民对创建“全国文明卫生城市”工作的了解情况，进行了一次知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如下表所示组别频数2515020025022510050（1）该市把得分不低于80分的市民称为“热心市民”，若以频率估计概率
18、，以样本估计总体，求从该市的市民中任意抽取一位，抽到“热心市民”的概率；（2）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求；（3）在（2）的条件下，该市为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：赠送的随机话费（单元：元）3060概率0.750.25现有市民甲要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望附：参考数据与公式，若，则；【答案】（1
19、）；（2）；（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式直接计算得到结果；（2）利用频数分布表可计算得到，由此确定；根据正态分布曲线的性质可求得结果；（3）首先确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式可求得数学期望.【详解】（1）设从该市的市民中任意抽取一位，抽到“热心市民”为事件，则；（2），即；（3）由题意知：，可能取值为，；则的分布列为：.【点睛】本题考查概率部分知识的综合应用，涉及到古典概型概率问题的求解、正态分布曲线的应用、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解问题，属于常考题型.22.如图所示，已知是正三
20、角形，若平面，平面平面，且（1）求证：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质知平面，可知，由线面平行判定可得到结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）过点作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又平面，平面；（2），平面，是的中点，连结，则，平面，四边形是矩形，以为原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，取平面的一个法向量为，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平
21、行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直和面面垂直的性质应用、线面平行和垂直的判定等知识的应用，属于常考题型.23.设（1）求证：在区间上没有零点；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用导数可求得在上增函数，可得，由此得到结论；（2）解法一：利用放缩的方式可知，则只需即可；利用导数可证得，由时，可确定此时满足题意；由时，存在实数，使得任意，均有，可知存在，不满足题意；解法二：构造函数，求导后，分别在和两种情况下根据导函数的符号确定函数单调性，由此可确定符合题意.【详解】（1），则，设，则，当时，即为增函数，在上是
22、增函数，在区间上没有零点；（2）解法一：由（1）知：当时，设，则，设，则，当时，在上为增函数，即，在上为增函数，即，所以对任意的恒成立又，时，所以当时，对任意的恒成立；当时，设，则，所以存在实数，使得任意，均有，所以在上为减函数，当时，即，时不符合题意；综上所述：实数的取值范围为解法二：等价于设，则，设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，所以当时，恒成立，在上是增函数，所以，即，即所以当时，对任意恒成立当时，存在，当时，在上是减函数，当时，即，不符合题意，故不满足题意，综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数解决函数零点个数的问题、恒成立问题的求解；求解恒成立的关键是能够通过放缩或者构造函数的方式，通过导数确定函数的单调性，通过分类讨论的方式排除掉与已知矛盾的参数范围.
