1、- 6 -立体几何011.如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. （II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.连结AG.又知由此得到：所以等于所求二面角的平面角，于是所以所求二面角的大小为 .2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90o，AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M()求证：CD平面BDM；()求面B1BD与面CBD所成二面角
2、的大小解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，CDA1B，A1C1=1，C1B1=，A1B1=，又BB1=1，A1B=2，A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1解法二：如图以C为原点建立坐标系(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,),M(,1,0),(,),(,-1,-1),(0,-), CDA1B,CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,)，BDB1G，又CDBD，与的
3、夹角等于所求二面角的平面角，cos所以所求二面角的大小为-arccos3. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD， （I） 求证； （II） （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小解析： （I）证明：如图1图1 底面ABCD是正方形 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得 （II）解： 底面ABCD，且ABCD为正方形 可以把四棱锥补形为长方体，如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角， 又 为所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 即面ASD与面BSC所成的二面角为图2 图3 （III）解：如图3 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为 - 6 -
