1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 55 不等式选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一考纲目标 含绝对值不等式的解法；有关不等式的证明；利用不等式的性质求最值 二考点逐个突破 1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)af(x)a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解 2含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.3基本不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立 定理 2：如果 a
2、、b 为正数，则ab2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则abc33 abc，当且仅当 abc 时，等号成立 定理 4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果 a1、a2、an为 n 个正数，则a1a2annn a1a2an，当且仅当 a1a2an时，等号成立 5不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等 三考点逐个突破 1.含绝对值不等式的解法 例 1(1)不等式 3|1|1|xx的解集是 .【答案】33(,)22 或2323|xxx或【解析】2,1|1|1|2,112,1x xxxxx x ，当1x 时，由3|1
3、|1|xx得 23x，得32x ；当1x 时，由3|1|1|xx得 23x，解得32x，所以不等式的解集为33(,)22 .(2)不等式|21|1|2xx的解集为 【答案】2(,0)3【解析】当12x 时，原不等式等价为(21)(1)2xx，即232,3xx，此时2132x。当112x时，原不等式等价为(21)(1)2xx，即0 x，此时102x。当1x 时，原不等式等价为(21)(1)2xx，即232,3xx，此时不等式无解，综上不等式的解为203x，即不等式的解集为2(,0)3。(3)已知函数aaxxf|2|)(.若不等式6)(xf的解集为32|xx，则实数的值为 .【答案】1a 【解析】
4、因为不等式6)(xf的解集为32|xx，即 2,3是方程()6f x 的两个根，即 66,46aaaa，所以 66,46aa aa，即 64aa，解得1a (4)已知函数 f(x)=|x+1|+|x2|m（I）当5m时，求 f(x)0 的解集；（II）若关于的不等式 f(x)2 的解集是，求的取值范围【答案】解：（I）由题设知：5|2|1|xx，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：5212xxx，或52121xxx，或5211xxx，解得函数)(xf的定义域为),3()2,(；（5 分）（II）不等式 f(x)2 即2|2|1|mxx，Rx时，恒有3|)2()1(|2|1|xxxx，不等
5、式2|2|1|mxx解集是，32 m，的取值范围是1,(（10 分）(5)已知函数()|21|23|f xxx.（）求不等式6)(xf的解集；（）若关于的不等式|1|)(axf的解集非空，求实数的取值范围.【答案】解：（）原不等式等价于 313,222(21)(23)6,(21)(23)6,xxxxxx或或1,2(21)(23)6.xxx 解之得 31312,12222xxx 或,或.即不等式的解集为21|xx.5 分（）432123212xxxxxf.41 a，解此不等式得53aa或.10 分 2.不等式的证明 例 2 已知函数()25f xxx （I）证明：3()3f x；（II）求不等式
6、2()815f xxx的解集【答案】解：（1）3,2,()|2|5|27,25,3,5.xf xxxxxx 当25,3273.xx 时 所以 3()3.f x 5 分 （II）由（I）可知，当22,()815xf xxx时的解集为空集；当225,()815|535xf xxxxx时的解集为；当25,()815|56xf xxxxx时的解集为.综上，不等式2()815|536.f xxxxx的解集为 10 分 3.利用基本不等式或柯西不等式求最值 例 3 已知 a，b，cR，且 abc1，求 3a1 3b1 3c1的最大值 审题视点 先将(3a1 3b1 3c1)平方后利用基本不等式；还可以利用
7、柯西不等式求解 解 法一 利用基本不等式(3a13b13c1)2(3a1)(3b1)(3c1)23a13b12 3b1 3c12 3a1 3c1(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3a1 3b1 3c13 2，(3a1 3b1 3c1)max3 2.法二 利用柯西不等式 (12 12 12)(3a1)2 (3b1)2 (3c1)2(13a1 13b1 1 3c1)2(3a1 3b1 3c1)233(abc)3 又abc1，(3a1 3b1 3c1)218，3a1 3b1 3c13 2.当且仅当 3a1
8、3b1 3c1时，等号成立(3a1 3b1 3c1)max3 2.4.求解含绝对值不等式的综合问题 例 4.设函数 f(x)|xa|3x，其中 a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值 解：(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|2.由此可得 x3 或 x1.(3 分)故不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3 或 x1(5 分)(2)由 f(x)0 得，|xa|3x0.此不等式化为不等式组 xa，xa3x0或 xa，ax3x0，即 xa，xa4或 xa，xa2.(8 分)因为 a0，所以不等式组的解集为x xa2.由题设可得a21，故 a2.(10 分)
