1、目标导航1理解同角三角函数的基本关系式(重点)2能够运用同角三角函数基本关系式进行化简，求值与恒等式证明(难点)1 新知识预习探究 知识点 同角三角函数的基本关系阅读教材 P18“探究”及以下内容P19“例 6”以上内容，完成下列问题 同角三角函数的基本关系 描述方式基本关系 基本关系式语言描述平方关系同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1商数关系sincostan同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切sin2cos21【练习】(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231 都成立()(2)对任意角，sin2cos2tan2都成立()(3)对任意角、，有 sin2cos
2、21.()(4)sin2 与 sin2 所表达的意义相同()2 新视点名师博客1.利用同角三角函数关系式化简(1)三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值(2)同角三角函数式化简过程中常用的方法：对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2已知 sinco
3、s 的求值问题(1)已知 sincos 求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式有：(sincos)212sincos；(sincos)212sincos；(sincos)2(sincos)22；(sincos)2(sincos)24sincos.上述三角恒等式告诉我们，已知 sincos，sincos，sincos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出(2)已知 tan 的值，求关于 sin，cos 齐次式的值已知 tanm，可求关于 sin，cos 的齐次式，或者可化为关于 sin，cos 的齐次式的三角函数式对只含有 sin，cos 的齐次式，可根据同角三
4、角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入解决此类问题的策略是先化简再求值(用 tan 来表示)因为 cos0，可用 cosn(nN)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于 tan 的表达式，再整体代入 tanm 的值，从而完成求值任务对于形如asinbcoscsindcos或asin2bsincosccos2dsin2esincosfcos2的分式，分子、分母同时除以 cos、cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值对于形如 asin2bsincosccos2 的式子，将其看成分母为 1 的分式，再将分母 1 变形为 sin2cos2，转化为
5、形如asin2bsincosccos2sin2cos2的式子求值如果先求出 sin 和 cos 的值，那么运算量会很大，问题的解决就会变得很繁锁.3 新课堂互动探究 考点一 已知一个三角函数值求另两个三角函数值例 1已知 cos35，求 sin 及 tan 的值分析：由 cos 的值确定角 是第几象限角，从而可得 sin 的符号，依据 sin2cos21 可求 sin，再由 tansincos可求 tan.解析：cos350，是第二、三象限角若 是第二象限角，则 sin0，tan0，sin 1cos2135245，tansincos43；若 是第三象限角，则 sin0，tan0，sin 1co
6、s2135245，tansincos43.点评：(1)已知一个角的正弦或余弦，求角 的其他三角函数值时，要利用平方关系先求余弦或正弦，再利用商的关系求正切(2)已知一个角的正切值时，可采用方程组sintancossin2cos21 来解 sin 和 cos，再由 所在象限决定取舍(3)公式的常见变形有1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.sintancos.变式探究 1 已知 tan2，求 sin，cos 的值解析：tan2，是第二、四象限角，又 tan2 得 sin2cos.(1)当 为第二象限角时，sin2cossin2cos21 5cos21，cos 55，sin2
7、 55 2 55.(2)当 为第四象限角时，sin2cossin2cos21 5cos21，cos0，cos 55，sin2 55 2 55.综合(1)(2)知：当 为第二象限角时，cos 55，sin2 55，当 为第四象限角时，cos 55，sin2 55.考点二 关于 sin，cos 的齐次式的求值问题例 2 已知 tan2，则(1)2sin3cos4sin9cos_；(2)4sin23sincos5cos2_.分析：(1)由于分式的分子和分母均是关于 sin，cos 的一次齐次式，所以可将分子和分母同除以 cos(因为 cos0)，然后将 tan2 代入求解即可(2)将已知式视为分母为
8、 1sin2cos2 的分式，于是分子和分母均为关于 sin，cos 的二次齐次式由于 cos20，所以分子和分母同除以 cos2，化为只含 tan 和 tan2 的式子即可求值解析：(1)2sin3cos4sin9cos2tan34tan92234291.(2)4sin23sincos5cos24sin23sincos5cos2sin2cos2，这时分子和分母均为关于 sin，cos的二次齐次式因为 cos20，所以分子和分母同除以 cos2，则 4sin23sincos5cos24tan23tan5tan2144325411.答案：(1)1(2)1点评：(1)已知 tanm，可求关于 si
9、n，cos 的齐次式，或者可化为关于 sin，cos 的齐次式的三角函数式(2)对只含有 sin，cos 的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入变式探究 2 若 tan3，则求下列各式的值(1)3sincossin2cos；(2)23sin2sincos14cos2.解析：(1)原式3sincos 1sincos23tan1tan2 33132 10.(2)原式23sin2sincos14cos2sin2cos223tan2tan14tan21239314911340.考点三 三角函数式的化简与证明例 3(1)化简 tan1si
10、n21，其中 是第二象限角(2)求证：sin1cos1cossin.分析：(1)先由角 是第二象限角确定出 sin，cos 的符号，利用公式 sin2cos21 对含根号的式子化简，结合 sin，cos 的符号可去掉根号，再由 tansincos可使式子最简(2)利用 sin2cos21 求证，也可用作差变形法求证解析：(1)因为 是第二象限角，所以 sin0，cos0，故tan1sin21tan1sin2sin2 tancos2sin2sincoscossin sincoscossin 1.(2)证明：证法一：sin2cos211cos2sin2(1cos)(1cos)sinsinsin1c
11、os1cossin.证法二：sin1cos1cossinsin21cos1cos1cossinsin21cos21cossin sin2sin21cossin0，sin1cos1cossin.点评：(1)化简三角函数式的一般要求：函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求出值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式(2)证明三角恒等式常用的方法有：由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简，或从等式两边同时入手，使它们等于同一个数(式)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式比较法，证明待证等式的左、右两边之差为 0.从
12、待证的恒等式出发，利用三角恒等变形公式，找出一个显然成立的恒等式或已有的结论变式探究 3 求证：(1)1tan21cos2；(2)2(1sin)(1cos)(1sincos)2.证明：(1)1tan21sin2cos2cos2sin2cos21cos2，原式成立(2)左边2(1cossinsincos)，右边(1sin)22(1sin)coscos212sinsin22cos2sincoscos22(1cossinsincos)，左边右边，原等式成立.例 4已知x0，sinxcosx15.(1)求 sinxcosx 的值并指出角 x 所处的象限；(2)求 tanx 的值分析：(1)由题设 判断
13、 角x所处的象限(2)由sinxcosx15 求sinxcosx的值 联立 求sinx、cosx的值 tanx的值解析：(1)由 sinxcosx15，两边平方，得cos2xsin2x2cosxsinx 125，12cosxsinx 125，即 cosxsinx1225.sinxcosx0，且x0，x 为第四象限角(2)(sinxcosx)212cosxsinx4925，sinxcosx75.x 为第四象限角，sinx0，cosx0，sinxcosx0，sinxcosx75.联立 cosxsinx15，得sinx35，cosx45，tanxsinxcosx34.点评：本题考查同角三角函数的基本
14、关系，sin2cos21 与sincos，sincos，sincos 的关系密切，知道其中一个的值，利用 sin2cos21 必能求出另外两个的值，还可进一步求出sin3cos3，sin4cos4 的值变式探究 4 已知 sincos15，0，求 sincos 的值解析：sincos15，(sincos)2 125.sincos1225.0，且 sincos0，sin0，cos0，sincos0.(sincos)212sincos4925，sincos75.4 新思维随堂自测1.化简1sin25的结果是()Asin5 Bsin5Ccos5Dcos5解析：1sin25cos25 cos5 cos
15、5.故选 C.答案：C2若 cos45，角 是第三象限角，则1tan1tan等于()A17 B.17C7 D7解析：由已知，得 sin 1cos235，故 tan34，所以1tan1tan1341347.答案：C3已知 sin2cos3sin5cos5，那么 tan 的值为()A2 B2C.2316D2316解析：原式左边分子和分母同除以 cos，得 tan23tan55，解得 tan2316.答案：D4已知 cosAsinA15，角 A 为第四象限角，则 tanA 等于()A.43B.34C43 D34解析：由已知条件及 sin2Acos2A1，可解得 cosA45，sinA35，故 tan
16、AsinAcosA34，选 D.答案：D5已知 0，2，cos45，则 sin()_.解析：cos45，0，2，sin()sin 1cos235.答案：355 辨错解走出误区易错点：扩大角的范围而造成增解【典例】2014黄冈中学训练题已知(0，)，sincos 312，求 tan 的值【错解】将 sincos 312的两边分别平方，得 12sincos1 32，即 sincos 34.所以 sincossincossin2cos2tan1tan2 34，解得 tan 3或 tan 33.【错因分析】错解中，将等式两边平方后扩大了角的范围，从而导致增解事实上，由 sincos0 可得出 tan0，还能进一步推出 tan1，错解中忽略了这一点【正解】将 sincos 312的两边分别平方，得 12sincos1 32，即 sincos 34.所以 sincossincossin2cos2tan1tan2 34，解得 tan 3或 tan 33.0(0，)，0sincos 3121，02，且|sin|cos|，|tan|1，即 2，34，tan1，tan 3.【反思】解三角函数的问题，有时会扩大角的范围，从而造成增解(如平方)，所以要适时分析角的范围或根据三角函数值缩小角的范围.
