1、9.3 二项式定理 -2-知识梳理 双基自测 1.二项式定理 二项式定理(a+b)n=_(nN*)二项展开式的通项公式 Tr+1=,它表示第 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C0,C1,C C0an+C1an-1b+Can-rbr+CbnCan-rbr r+1-3-知识梳理 双基自测 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 单调性 二项式系数nk 当 k (nN*)时,C是递减的 最大值 当 n 为偶数时,中间的一项C2取得最大值 当 n 为奇数时,中间的两项 和 取得最大值 C=C-+12-12 C-12 C+12-4-知识梳理 双基
2、自测 3.常用结论 (1)C0+C1+C2+C=.(2)C0+C2+C4+=C1+C3+C5+=.(3)C1+2C2+3C3+nC=n2n-1.(4)C C0+C-1C1+C0 C=C+.(5)(C0)2+(C1)2+(C2)2+(C)2=C2.2n 2n-1 2-5-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)(a+b)n 的展开式中的第 r 项是Can-rbr.()(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)在(a+b)n 的展开式中,每一项的二项式系数与 a,b 无关.()(4)通项+1=Can-rbr 中的 a 和 b 不能互换.()
3、(5)(2a+3b)n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同.()-6-知识梳理 双基自测 234152.+12 6的展开式中的常数项为()A.52B.160C.-52D.-160A解析 因为展开式中的通项公式为 Tr+1=C6x6-r 12=12 C6x6-2r,令 6-2r=0,得 r=3,所以展开式中的常数项为 T4=12 3C63=52.-7-知识梳理 双基自测 234153.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29 D解析 由条件知,则n=10.故(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的
4、二项式系数和为210-1=29.C3=C7-8-知识梳理 双基自测 234154.(2020 全国,理 14)2+2 6 的展开式中常数项是 (用数字作答).240解析:2+2 6 的通项为 Tr+1=C6(x2)6-r 2=C6x12-3r2r,当且仅当 12-3r=0,即 r=4 时,Tr+1 为常数项,即 T5=C6424=240.-9-知识梳理 双基自测 234155.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.4解析 二项展开式的通项 Tr+1=C(3x)r=3rCxr,令 r=2,得 32C2=54,解得 n=4.-10-考点1 考点2 考点 1 通项公式及其应用(
5、多考向)考向一 已知二项式求其特定项(或系数)例 1(1)二项式 42-1 6展开式中的第 4 项为()A.-1 280 x3B.-1 280C.240D.-240(2)(2020 天津,11)在 +22 5的展开式中,x2 的系数是 .思考如何求二项展开式的项或特定项的系数?已知特定项的系数如何求二项式中的参数?A10-11-考点1 考点2 解析:(1)42-1 6展开式中的第 4 项为 T3+1=C63(4x2)3-1 3=-1 280 x3,选 A.(2)二项式 +22 5=(x+2x-2)5,展开式的通项公式 Tr+1=C5x5-r(2x-2)r=2rC5x5-3r,令 5-3r=2,
6、得 r=1.故 x2 的系数为 21C51=25=10.-12-考点1 考点2 考向二 已知三项式求其特定项(或系数)例2(1)在(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20 C.30D.60(2)在(x2-x+1)3展开式中,x项的系数为()A.-3B.-1 C.1D.3 思考如何求三项式中某一特定项的系数?CA-13-考点1 考点2 解析(1)由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为Tr+1=C5(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有当 r=2 时,T3=C52(x2+x)3y2中才能含有 x5y2 项.设(x2+x)3 的展开式的
7、通项为Ti+1=C3(x2)3-ixi=C3 x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则(x2+x)3 的展开式中 x5 项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数是C523=103=30.(2)(方法一)(x2-x+1)3=(x2-x)+13 的展开式的通项为Tk+1=C3(x2-x)3-k,令 3-k=1,可知 k=2.则 T3=C32(x2-x)=3x2-3x,即在(x2-x+1)3 展开式中,x 项的系数为-3,故选 A.(方法二)因为(x2-x+1)3=(x2-x+1)(x2-x+1)(x2-x+1),所以要得到展开式的 x 项,必须
8、从两个因式中取 1,另一个因式中取-x 项相乘得到,因此 x 项的系数为-C32=-3.-14-考点1 考点2 考向三 求两个因式之积的特定项系数 例3(1)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30 D.35(2)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)思考如何求两个因式之积的特定项系数?1+12 C-20-15-考点1 考点2 解析(1)(方法一)1+12(1+x)6=1(1+x)6+12(1+x)6,(1+x)6的展开式中的 x2 的系数为C62=652=15,12(1+x)6 的展开式中的 x2 的系数为C64=15,所以 x2 的系数为
9、 15+15=30.(方法二)(1+x)6 的二项展开式通项为 Tr+1=C6xr,1+12(1+x)6的展开式中含 x2 的项的来源有两部分,一部分是 1C62x2=15x2,另一部分是 12 C64x4=15x2,故 1+12(1+x)6 的展开式中含 x2 的项为15x2+15x2=30 x2,其系数是 30.-16-考点1 考点2(2)(方法一)因为(x+y)8 的通项公式为 Tr+1=C8x8-ryr(r=0,1,8,rZ).当 r=7 时,T8=C87xy7=8xy7,当 r=6 时,T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x
10、8xy7-y28x2y6=-20 x2y7,故系数为-20.(方法二)因为(x-y)(x+y)8是 9 个因式之积,所以 x2y7的系数为C81 C77 C82 C66=-20.-17-考点1 考点2 解题心得1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展 先建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基本原理去求,即
11、把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.3.求两个因式之积的特定项系数也有两种方法:(1)利用通项公式法;(2)用排列组合法.开式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+1=Can-kbk 的特点,一般需要-18-考点1 考点2 对点训练 1(1)(2020 全国,理 8)+2 (x+y)5 的展开式中 x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20(2)在 2+2 5的展开式中,x-4 的系数为 320,则实数a=.(3)1+1 6的展开式中常数项为 .C2 141-19-考点1 考点2 解析:(1)因为(x+y)5 的通项公式为C5x5-ryr(r=
12、0,1,2,3,4,5),所以当 r=1 时,2 C51x4y=5x3y3,当 r=3 时,xC53x2y3=10 x3y3,所以 x3y3的系数为 10+5=15.(2)因为展开式的通项公式 Tr+1=C5(2x)5-r 2=25-rarC5x5-3r,令5-3r=-4,得 r=3,则 25-3a3C53=320,即 a3=8,解得 a=2.-20-考点1 考点2(3)(方法一)将原式看做 1+1 6,由二项式定理可得展开式的通项为 Tr+1=C616-r +1.又 +1 的展开式通项为 Tm+1=Cxr-m(x-1)m=Cxr-2m,则取常数项时r=2m.由题可知r0,1,2,3,4,5,
13、6,m0,1,2,3,4,5,6,则m的可能取值为0,1,2,3,对应的r分别为0,2,4,6.当m=0,r=0时,常数项为1;当m=1,r=2时,常数项为30;当m=2,r=4时,常数项为90;当m=3,r=6时,常数项为20;故常数项为1+30+90+20=141.-21-考点1 考点2(方法二)将 1+1 6看作 6 个因式相乘,要得到常数,取因式中的 6 个 1 相乘,或取 1 个 x,1 个1,4 个 1 相乘,或取 2 个 x,2 个1,2 个1 相乘,或取 3 个 x,3 个1相乘,故常数项为 1+C61C51+C62C42+C63C33=1+30+90+20=141.-22-考
14、点1 考点2 考点 2 二项式系数的性质与各项系数和(多考向)考向一 二项式系数的最值问题例 4 设 m 为正整数,(x+y)2展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8思考如何确定二项式系数最大的项?B解析 由题意可知,a=C2,b=C2+1.13a=7b,13(2)!=7(2+1)!(+1)!,即137=2+1+1,解得 m=6.故选 B.-23-考点1 考点2 考向二 项的系数的最值问题例 5 已知(x3+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大 992,则在 2x
15、-1x 2n的展开式中,二项式系数最大的项为 ;系数的绝对值最大的项为 .思考如何求二项展开式中项的系数最值?-8 064-15 360 x4-24-考点1 考点2 解析 由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故 2n=32,解得 n=5.由二项式系数的性质知,2-1 10的展开式中第 6 项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为 T6=C105(2x)5-1 5=-8 064.设第 k+1 项的系数的绝对值最大,则 Tk+1=C10(2x)10-k-1=(-1)kC10 210-kx10-2k,令 C10 210-C10-1210-+1,C10 210-C10
16、+1210-1,得 C10 2C10-1,2C10 C10+1,即 11-2,2(+1)10-,得 83k113.kZ,k=3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项,T4=-C103 27x4=-15 360 x4.-25-考点1 考点2 考向三 求二项式展开式中系数的和 例6(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.思考求二项式系数和的常用方法是什么?3解析(方法一)(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40 x0=x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32.a=3.(方法二)设(a+x
17、)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.-26-考点1 考点2 解题心得 1.二项式系数最大项的确定方法:(1)若 n 是偶数,则中间一项 第 2+1 项 的二项式系数最大;(2)若 n 是奇数,则中间两项 第+12 项与第+12+1 项 的二项式系数相等并最大.2.二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,bR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设
18、展开式的各项系数分别为 A1,A2,An+1,且第 k 项系数最大,应用 -1,+1,从而解出 k 来,即得.-27-考点1 考点2 3.求二项式系数和的常用方法是赋值法:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+a4+=(1)+(-1)2,偶数项系数之和为 a
19、1+a3+a5+=(1)-(-1)2.-28-考点1 考点2 对点训练 2(1)若 +22 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式的常数项是()A.360B.180C.90D.45(2)已知-1 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项为()A.第 5 项B.第 4 项C.第 4 项或第 5 项D.第 5 项或第 6 项(3)若二项式 +3 的展开式的系数和为 256,则 a 的值为 .BA-1或-5-29-考点1 考点2 解析(1)展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式总共 11 项,故 n=10,通项公式为 Tr+1=C10()10-r 22=C10 2r5-52,当 r=2 时,常数项为 180.(2)因为-1 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等,所以C2=C5,得 n=7.又展开式中第 r+1 项的系数为C9(-1)r,当 r=4 时,C9(-1)r 最大,所以展开式中系数最大的项为第 5 项.(3)令 x=1,则(a+3)n 的展开式的系数和为 256.展开式的二项式系数和为 2n,2n=256.n=8.a+3=2,解得 a=-1 或 a=-5.
