1、课时作业13椭圆的简单性质时间：45分钟基础巩固类一、选择题1若椭圆1的离心率e，则m的值是(B)A3 B3或C. D.或解析：若焦点在x轴上，则a，由得c，b2a2c23，mb23.若焦点在y轴上，则b25，a2m.，m.所以m的值为3或.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：由右焦点为F(1,0)可知c1，因为离心率等于，即，故a2，由a2b2c2知b23，故椭圆C的方程为1.故选D.3已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是(A)A42，42 B4，4C42，42 D4，4解析：由8x23y2
2、24，得1.m，422m442.4椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为(A)A. B.C. D.解析：依题意4b24ac，即1e2e.在椭圆中a2b2c2，e2e10.e(舍去负值)5已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A.1 B.y21C.1 D.1解析：根据条件可知，且4a4，a，c1，b2，椭圆的方程为1.6设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由题意可得|PF
3、2|F1F2|，22c.3a4c.e.7椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是(B)A， B，C，1 D，1解析：如图：直线A2M的方程为y(x2)2x.代入椭圆方程1，得3x24y23x24(44xx2)12，整理得7x216x40，2x，x.M点坐标为(，)同理可得N点坐标为(，)kA1M，kA1N.直线PA1斜率的取值范围是，8已知P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，则m2n2的取值范围是(B)A(0,1 B1,2C(0,2 D2，)解析：因为P(m，n)是椭圆x21上的一个动点，所以m21，即n222m2，
4、所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22，故选B.二、填空题9椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是.解析：由题意2b2c，即bc，即c，a2c2c2，则a22c2.，0eb0)，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，2a12，即a6.椭圆的离心率为，e，b29.椭圆的标准方程为1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，则b9，c7，所以a2b2c28149130，所以椭圆的标准方程为1.13设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(
5、0,4)代入C的方程得1，b4，又由e得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2，AB的中点坐标，(x1x26)，即中点为(，)能力提升类14已知椭圆1的左焦点为F，右顶点为A，点M的横坐标为，设MF与椭圆交于点P，直线PA，MA的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是(，)解析：如图所示，设P(x0，y0)，M(，y1)，又F(2,0)，A(3,0)，则直线PF的方程为y(x2)令x，得y1，即M(，)，于是得k1，k2，所以
6、k1k2.由点P在椭圆上，得y(9x)，代入得k1k2(9x)(1)因为点P是线段FM与椭圆的交点，则点P只可能在直线x2的右侧且异于点A，即x0(2,3)，所以1，故k1k2.15已知，椭圆C过点A，两个焦点为(1,0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解：(1)由题意c1，由定义|F1A|F2A|42a，a2，b，椭圆方程为1.(2)证明：设直线AE方程为：yk(x1)，代入1得(34k2)x24k(32k)x42120，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以xE，yEkxEk.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xF，yFkxFk.所以直线EF的斜率kEF，即直线EF的斜率为定值，其值为.
