1、第五章 平面向量与复数高考大题规范解答系列(二)三角函数 例1考点一三角函数的综合问题已知向量 a(2sin 2x，2cos 2x)，b(cos，sin)|2，若 f(x)ab，且函数 f(x)的图象关于直线 x6对称(1)求函数 f(x)的解析式，并求 f(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 f(A)2，且 b5，c2 3，求ABC 外接圆的面积分析(1)看到求f(x)的解析式，想到对ab进行化简；看到求f(x)的单调减区间，想到ysin x的单调减区间；(2)看到求ABC外接圆的面积，想到求半径r和正弦定理 标准答案规范答题 步步得分(1)
2、f(x)ab 2sin 2xcos 2cos 2xsin 2sin(2x)，2 分得分点函数 f(x)的图象关于直线 x6对称，26k2，kZ，k6，kZ，又|2，6.f(x)2sin2x6.4 分得分点由 2k22x62k32，kZ，得 k6xk23，kZ.f(x)的单调递减区间为k6，k23，kZ.6 分得分点(2)f(A)2sin2A6 2，sin2A6 1.A(0，)，2A66，136，2A62，A6.8 分得分点在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A2512252 3cos 67，a 7.10 分得分点由正弦定理得 asin A2R 7122 7，R 7，ABC 外
3、接圆的面积 SR27.12 分得分点评分细则 正确化简求出f(x)的解析式得2分 正确利用三角函数的对称轴求对的值，得2分 正确利用ysin x的单调减区间，求出f(x)的减区间，得2分 正确利用特殊角的三角函数值求对角A，得2分 正确利用余弦定理求对a的值，得2分 正确利用正弦定理求对半径r和圆的面积得2分 名师点评 1核心素养：三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”素养的达成度2解题技巧：(1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题 f(x)2sin2x6 必
4、须求对(2)要清晰呈现求角 A 的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径 r.变式训练 1(2021浙江，18)设函数 f(x)sin xcos x(xR)(1)求函数 yfx22 的最小正周期；(2)求函数 yf(x)fx4 在0，2 上的最大值解析 本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础知识，同时考查数学运算素养(1)由已知得 yfx22(cos xsin x)21sin 2x，故所求的最小正周期 T.(2)yf(x)fx4 2(sin xcos x)sin xsin2x4 22，因为 x0，2，所以42x434故当 2x42时，即 x38 时，函数 yf(x)fx4 取最
5、大值 1 22.例2考点二解三角形问题(2021山东省青岛市高三模拟检测，18,12 分)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 bcos A 33 ac.(1)求 cos B；(2)如图，D 为ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，D2B，且 AD1，CD3，BC 6，求 AB 的长分析(1)看到求cos B想到在三角形中利用边化为三角函数求解(2)看到求AB的长想到将AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求解 标准答案规范答题 步步得分(1)在ABC 中，由正弦定理得sin Bcos A 33 sin Asin C，2 分得分点又 C(AB)，所以 sin Bcos
6、 A 33 sin Asin(AB)，故 sin Bcos A 33 sin Asin Acos Bcos Asin B，4 分得分点所以 sin Acos B 33 sin A，又 A(0，)，所以 sin A0，故 cos B 33.6 分得分点(2)D2B，cos D2cos2B113，7 分得分点又在ACD 中，AD1，CD3，由余弦定理可得 AC2AD2CD22ADCDcos D192313 12，AC2 3，9 分得分点在ABC 中，BC 6，AC2 3，cos B 33，由余弦定理可得 AC2AB2BC22ABBCcos B，即 12AB262AB 6 33，解得 AB3 2.故
7、 AB 的长为 3 2.12 分得分点评分细则 正确利用正弦定理化边为三角函数，得2分 正确利用两角和与差的正弦公式，得2分 正确化角求对cos B，得2分 正确利用倍角公式求对cos D，得1分 正确利用余弦定理求对AC，得2分 正确利用余弦定理求对AB，得2分 名师点评 1核心素养：解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力2解题技巧：要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中正弦定理 asin A bsin Bcsin C2R；(2)中利用余弦定理分别在ADC 和ABC 中求出 AC
8、、AB变式训练 2(2021湖北八市 3 月联考，17)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若角 C 为23，且 sin(AC)2sin(BC)cos(AB)(1)求 abc 的值；(2)若ABC 的内切圆的半径 r 332，求ABC 的面积解析(1)由 sin(AC)2sin(BC)cos(AB)得 sin B2sin Acos C，将 C23 代入得 sin Asin B，所以 AB6，即 ab，所以 abcsin 6sin 6sin 23 113.(2)由(1)知rc2tan 12tan46 2 3得 c2r2 3 3，所以 ab1，SABC12absin C 34.
