1、高考命题新动向 情境命题系列(三)数列【母题呈现】【题目】(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699 块 B3 474 块C.3 402 块D3 339 块【命题探秘】命题情境以天坛的建筑设计为命题背景，考查数列在建筑设计中的应用，渗透中国古建筑文化凸显试题命制新手段命题立意等差数列的性质是等差数列
2、的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题核心素养考查逻辑推理、数学建模、数学运算【解析】选 C.设每一层有 n 环，由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列an，且公差 d9，首项 a19，由等差数列的性质可知 Sn，S2nSn，S3nS2n 成等差数列，且S3nS2n S2nSn n2d,由题意得 9n2729，所以 n9，则三层共有扇面形石板为 S3nS2727a12726293 402(块).【考题集训】1(2020保定模拟)我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺
3、，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢()A3 B4 C5 D6【解析】选 B.大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，前 n 天打洞距离之和为2n121 2n1.同理，小老鼠前 n 天打洞距离之和为112n1122 12n1，2n12 12n1 10，解得 n(3，4)，取 n4.即两鼠在第 4 天相逢2原始的蚊香出现在宋代根据宋代冒苏轼之名编写的格物粗谈中记载：“端午时，收贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫”如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线 l 上取长度为 1
4、的线段 AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段 CB 的延长线于点 D，再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段 AC 的延长线于点 E，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线 l恰有 21 个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为()A.310 B340 C930 D1 020【解析】选 A.如题干图所示，当以 B 为圆心，半径为 1，4，7，10，除起点外，与直线无交点；当以 C 为圆心，半径为 2，5，8，11，与直线有一个交点；当以 A 为圆心，半径为 3，6，9，12，除终点(即的起点，点 A 除外)外，与直线无交点所以当“螺
5、旋蚊香”与直线 l 恰有 21 个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个扇环，所以以 B 为圆心的弧与直线只有交点 A，以 C 为圆心的弧与直线有 10 个交点，以 A 为圆心的弧与直线有 10 个交点所以最后一个圆弧的半径为 r33(101)30，所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为 l13 2(12330)13230（130）2310.3我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏
6、至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是()A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C立冬的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短【解析】选 D.由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列an其中 a115 寸，a13135 寸，公差为 d 寸，则 1351512d，解得 d10，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列bn，首项 b1135，末项 b1315，公差 d10，故选项 A 不符合题意因为春分的晷长为 b7，所以 b7b16d1356075.因为秋分的晷长为 a7，所以 a7a16d156075，所以 B 不符合题意；因为立冬的晷长为 a10，所以 a10a19d15910105，所以 C 不符合题意因为立春的晷长、立秋的晷长分别为 b4，a4，所以 a4a13d153045，b4b13d13530105，所以 b4a4，故D 符合题意
