1、第二十四章 24.4.1 弧长和扇形面积 知识点 1：弧长公式 半径为 R 的圆中,n的圆心角所对的弧长 l=.来源:学.科.网 Z.X.X.K 关键提醒:(1)对于弧长公式关键是要理解 1的圆心角所对的弧长是圆周长的,即,亦即;(2)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量.知识点 2：扇形面积公式 来源:学+科+网 Z+X+X+K 扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式:半径为 R,圆心角为 n的扇形面积 S 扇形=(若已知或已求出了扇形对应的弧长 l,则扇形面积公式也可以写成 S 扇形
2、=lR).关键提醒:(1)对于扇形面积公式关键是要理解 1的扇形面积是圆面积的,即;(2)扇形面积公式所涉及的三个量:扇形面积、扇形半径、圆心角的度数,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量;(3)对于扇形面积公式 S 扇形=lR,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式 S=ah有点类似,用类比的方法记忆会更好;(4)注意扇形面积的两个公式之间的联系:S 扇形=R=lR,无论利用哪个公式计算扇形面积,R 都必须已知.知识点 3：弓形的认识 弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形,利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积.弓形有如下三种情况:(1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积
3、与三角形面积的差,即S 弓形=S 扇形-SOAB;(2)当弓形的弧大于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和,即 S 弓形=S 扇形+SOAB;(3)当弓形的弧是半圆时,弓形的面积是圆面积的一半,即 S 弓形=S 圆.也就是说:要计算弓形的面积,首先要观察它的弧属于半圆、劣弧还是优弧,只有对它分析正确才能保证计算结果的正确.阴影部分常常是基本图形的组合,解题时要认真分析图形,找出组合方式,这是解决这类问题的关键.考点 1：弧长公式的运用【例 1】挂钟分针的长为 250px,经过 45 分钟,它的针尖转过的弧长是().A.cm B.15cm C.cm D.75cm 答案:B.点拨:本题已
4、知弧所在圆的半径为 250px,又知分针 45 分钟转过 270,所以针尖转过的弧长是 l=15(cm).考点 2：圆中图形面积的计算【例 2】如图,圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起,连接 AC、BD.(1)求证:AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是 cm2,OA=50px,求 OC 的长.解:(1)因为AOB=COD=90,所以AOC+AOD=BOD+AOD 所以AOC=BOD.来源:学科网 ZXXK来源:学科网 ZXXK 又因为 AO=BO,CO=DO,所以AOCBOD,所以 AC=BD.(2)根据题意得 S 阴影=-=,即=.来源:1 解得 OC=1(cm)
5、.点拨:由AOC BOD 可知图中阴影部分面积是扇环形面积,即=,解得OC=1.考点 3：弧长公式和扇形面积在实际生活中的应用【例 3】在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置如图所示:滑轮的半径是 250px,当她将一重物向上提升 375px 时,滑轮的半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度是 (假设绳索与滑轮之间没有滑动,取 3.14,结果精确到 1).答案:86.点拨:在绳索与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动,当轮子的点 A 转到点A1位置时,绳子上的某一点也就从点 A 被带到点 A1,绳子被带动上升 375px,也就是长度为 375px,所以本题所考查的数学知识可以等价“圆中的计算问题”:已知,如图O 的半径为 250px,长为 375px.求A1OA 的度数.设 OA 绕圆心 O 按逆时针方向旋转 n,则 15=,解得 n86.
