1、第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理（第二课时）李思目录CONTENTS01知识回顾03典型例题02正弦定理04课堂总结知识回顾知识回顾（1）初中学过的勾股定理是什么？（2）直角三角形中三角函数值是如何求的？思考1.余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式，如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？2.直角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a，b，c表示，怎样用a，b，c表示角A，B，C的正弦？思考3.对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？4.一旦成立，如何证明呢？我们希望获得ABC中的边a，b，c与它们所对角
2、A，B，C的正弦之间的关系式 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究。正弦定理正弦定理(1)锐角三角形：cos90cos(90)cos(90)jACjCBCjABAsinsinsinsinacaCcAAC所以 同理过C点做 得 mCBsinsincbCB所以在锐角三角形中 sinsinsinabcABC正弦定理(2)钝角三角形：sinsinsinabcABC设90A，过 点 A 作 与 AC 垂 直 的 单 位 向 量 j，则 j 与 AB 的 夹 角 为2A，AB 与j 的夹角为2C，仿照上述方法，可得关于正弦定理的正确描述又是什么？正弦定理文字
3、表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等公式表达sinCcsinBbsinAa注：1.正弦定理对任意的三角形都成立；2.正弦定理描述了三角形中边与角的一种数量关系思考：利用正弦定理，可以解决哪几类解三角形问题？（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。典型例题类型一：已知两角及任意一边解三角形例 1：在ABC 中，已知 B30，C105，b4，解三角形。解析：因为B30，C105，所以A180(BC)180(30105)45.由正弦定理，得asin 454sin 30csin 105，解得 a4sin 45sin
4、 3042，c4sin 105sin 302(62).例 2：ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边若 a2，C4，cos B35，求 sin A 和 c.解析：由题意 cos B350，则 B 为锐角，sin B1cos2B45.sin Asin(BC)sin34Bsin34cos Bcos34sin B7210.由正弦定理asin Acsin C，得27210c22，解得 c107.解题技巧：1.正弦定理实际上是三个等式：每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角.（三角形内角和定理）asin
5、Absin B，bsin Bcsin C，asin Acsin C类型二：已知两边及其中一边的对角解三角形例 3：在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c6，B45，b2，求 a 和 A，C.解析：bsin Bcsin C，sin Cc sin Bb6sin 45232.c sin Bbc，C60或 120.当 C60时，A75，ac sin Asin C6sin 75sin 6031；当 C120时，A15，ac sin Asin C6sin 15sin 12031.a31，A75，C60或 a31，A15，C120.延伸：若把本例中的条件“A45”改为“C45”，则角
6、 A 有几个值？解析：asin Acsin C，sin Aasin Cc222633.A 为小于 45的锐角，且正弦值为33，这样的角 A 只有一个.c62a，CA.已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤：(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.(2)用三角形内角和定理求出第三个角.(3)根据正弦定理求出第三条边.其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.类型三：判断三角形的形状例 4：在ABC 中，已知 ba sinC，ca sin B，试判断ABC 的形状解析：方法一：由 ba sin C，ca sin B，得bcsin Csin B.由正弦定理，得b
7、ccb，所以 b2c2.又 b，c0，所以 bc，所以 BC.由 ba sin C，得 sin Bsin A sin Csin A sin B，所以 sin A1，所以 A2，所以ABC 是等腰直角三角形解析：方法二：由 ba sin C，ca sin B，得bcsin Csin B.例 4：在ABC 中，已知 ba sinC，ca sin B，试判断ABC 的形状由正弦定理，得sin Bsin Csin Csin B，所以 sin2Bsin2C.由 ba sin C，得 sin Bsin A sin Csin A sin B，所以 sin A1，所以 A2，所以ABC 是等腰直角三角形又 B
8、，C(0，)，所以 sinB0，sin C0，所以 sin Bsin C，所以 BC.判断三角形的形状的方法：化边：利用正弦定理把已知条件转化成边边关系，通过因式分解、配方等得出边的对应关系，从而判断三角形形状.化角：利用正弦定理把已知条件转化成内角的三角函数关系，通过三角恒等变换的出内角的关系，同时利用三角形内角和定理，判断出三角形形状.类型四：有关三角形面积的计算例 5：ABC 中，A6，AB3，BC1，求ABC 的面积。AC23AC20，AC1 或 2.解析：ABC 中，BC2AB2AC22AB AC cos A，13AC223 AC32，ABC 的面积为12 AB AC sin A12
9、311234或12321232.例 6：在ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且 b sin A3a cos B.(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，c6，求ABC 的面积解析：(1)b sin A3a cos B，由正弦定理，得 sin B sin A3sin A cos B.sin A0，sin B3cos B，tan B3.又B(0，)，B3.例 6：在ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且 b sin A3a cos B.(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，c6，求ABC 的面积解析：(2)由(1)知 B3，b3，c6，且bsin Bcsin C，解得 sin C22.又cb，CB，0C3，C4.A(BC)34 512.ABC 的面积 S12bc sin A12366249334.关于三角形的面积计算的方法：不规则图形：作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；所给条件为边角关系，用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式（S12ab sin C12bc sin A12ac sin B）进行求解课堂总结课堂总结(1)向量法证明正弦定理.(2)正弦定理的相关推论.(3)正弦定理的几类题型.注：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.感谢观看
