1、7.1.2 复数的几何意义 基础预习初探 1.回顾平面直角坐标系与点的坐标:(1)在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点Z(a,b)对应的向量 =_,对应的复数z=_.(2)在复平面内,复数z=a+bi,a,bR,对应的点Z的坐标为 _,对应的 向量 =_.(a,b)a+bi(a,b)(a,b)OZOZ2.(1)若复数z=a+bi(a,bR)对应的点位于复平面内的第三象限,则复数的实部 与虚部满足什么条件?提示:当a0,b0时,复数对应的点位于复平面内的第三象限.(2)虚轴上的点都表示纯虚数吗?提示:除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.(1)设Z(a,b),O为原点,则向量 的模如何用a,b
2、表示?提示:|=.(2)复数可以用向量表示,那么向量的模与复数的模有什么关系?提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.用符号语言描述:|z|=|=.OZ22abOZ22abOZ4.复数z=a+bi与复数 =a-bi对应的点有什么关系?提示:复数z=a+bi对应的点为(a,b),复数 =a-bi对应的点为(a,-b),两点关 于x轴对称.特别地,当b=0时,两点重合.ZZ【概念生成】1.复平面与复数的几何意义 如图,这个建立了_来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做_轴 y轴叫做_轴.实轴上的点都表示实数;除_外,虚轴上的点都表示纯虚数.直角坐标系 实 虚 原点 2.复数的几何意义 已知原点O
3、,复数z=a+bi,a,bR既可以与点Z(a,b)建立一一对应,又可以与平 面向量 建立一一对应关系,三者的关系如下:OZ3.复数的模(或绝对值)向量 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即 =_,其中a,bR.如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于 (实数a的绝对值).4.共轭复数 一般地,当两个复数的实部_,虚部互为_数时,这两个复数叫做互为 共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数 用_表示,即如果z=a+bi,那么_=a-bi,其中a,bR.OZ|z|abi|22ab|a|相等 相反 zz核心互动探究 探究点一 复数与
4、点的一一对应【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的 中点,则点C对应的复数是()A.1+2i B.1+3i C.3+3i D.3+4i 2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x+1上.【思维导引】1.利用相等向量计算,也可以利用线段的中点坐标公式计算;2.根据点的位置列方程或不等式组求解.【解析】1.选B.方法一:在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为 A(4,5),B(-2,1),设线段AB的中点C为(x,y),则 ,即(x-4,y-5)=(-2
5、-x,1-y),得x-4=-2-x,y-5=1-y,解得x=1,y=3.所以C(1,3)对应的复数为1+3i.ACCB方法二:复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),则线段AB的中 点C(1,3),所以C(1,3)对应的复数为1+3i.2.(1)由 解得-2m3或5m0,解得m-2或 0m2.(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则 =4,即m4-4m2=0,解得m=0或m=2.22 24m4m（）探究点二 复数与向量的一一对应【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),则向量 对应的复数为()A.1+2i B.-3+5i C.-2+7i D.-
6、4+3i AB2.已知向量 对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,将向量 平移,使其起点移动到A点,这时终点为A2.(1)求向量 对应的复数;(2)求点A2对应的复数.【思维导引】1.求出向量 的坐标,再确定对应的复数.2.根据复数与点以及复数与向量的对应关系求解.OA1OA1OAAB【解析】1.选D.由于A(1,2),B(-3,5),则向量 =(-4,3),所以 对应的复数为-4+3i.2.(1)因为向量 对应的复数是4+3i,所以点A对应的复数也是4+3i,因此点A坐标为(4,3),所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量 对应的复数是4-3i.ABABOA1OA(2
7、)依题意知 =,而 =(4,-3),设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),所以x=8,y=0,即A2(8,0).所以点A2对应的复数是8.1OA2AA1OA【类题通法】复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,bR)是与以原点O为起点,Z(a,b)为终点的向量 一一对 应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可 能改变.提醒:向量是自由向量,其长度与方向与起点的位置无关,=(xB-xA,yB-yA),对 应的复数的实部和虚部分别是向量的横坐标和纵坐标.OZAB【定向训练】已知平面直角坐标系中O是原点,向量 ,对应的复数分别
8、为2-3i,-3+2i,那么向量 对应的复数是()A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i OAOBBA【解析】选B.向量 ,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内 的点一一对应,可得向量 =(2,-3),=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量 =(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量 对应的复数是5-5i.OAOBOAOBBA OA OBBA【补偿训练】在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的 对称点为点B,则向量 对应的复数为()A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.
9、-1+2i OAOB【解析】选B.因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为 B(-2,1),所以 对应的复数为-2+i.OB探究点三 共轭复数与复数的模【典例3】1.已知复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i,aR互为共 轭复数,则z=()A.3+4i B.3-5i C.5i D.-5i 2.已知zC,|z|=5,求z表示的点的轨迹.【思维导引】1.两个共轭复数实部相等,虚部相反,且二者的模相等.2.设复数z对应位置向量 ,其中O为原点,根据圆的对应判断轨迹形状.OZ【解析】1.选D.因为复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5
10、i互为共轭 复数,则|z|=|z1|=|z2|,得 =5,所以a=0,z2=5i,z=-5i.2.设复数z对应位置向量 ,其中O为原点,根据|z|=5,得|=5,由圆的定义,动点Z的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,即复数z表示的点的轨迹是圆.22a52234（）2zOZOZ【类题通法】明确复数的模即两点间的距离问题 1.复数的模表示对应向量的长度,也就是对应的两点之间的距离.2.注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),=(a,b),=(c,d),则 =.1OZ2OZ121221|zz|OZOZ|Z Z|22acbd（）（）【定向训练】1.
11、设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A.a1 B.-1a1 D.a0【解析】选B.因为|z1|=,|z2|=,所以 ,即a2+45,所以a21,解得-1a1.2a44 152a452.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A,B,则向量 =_.|AB|【解析】复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3),则向量 =(3,-4),所以 =5.答案:5 AB|AB|【课堂小结】课堂素养达标 1.复平面内,复数z=2-3i对应的点的坐标为()A.(2,3)B.(2,-3)C.(3,2)D.(-3,2)【解
12、析】选B.复数z=2-3i=2+(-3)i对应点的坐标为(2,-3).2.在复平面内,复数z=sin 2+icos 2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为 20,cos 20.故z=sin 2+icos 2对应的点在第四象限.23.已知复数z=a+i(aR)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则 复数z等于()A.-1+i B.1+i C.-1+i或1+i D.-2+i 333333【解析】选A.因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a0.由|z|=2知,=2,解得a=1.故a=-1,所以z=-1+i.22a3（）34.复平面内,点(0,-3)对应的复数为_.【解析】点(0,-3)对应的复数为-3i.答案:-3i
