1、新课程标准 82.3倍 角 公 式1.经历从两角和的正弦、余弦和正切公式推导倍角公式的过程，了解它们之间的内在联系2.能熟练运用倍角公式进行化简、求值与证明3通过学习，提高学生逻辑推理、数学运算的核心素养(一)教材梳理填空倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin 2S2余弦cos 2cos2sin2C2正切tan 2 _T22sin cos 2cos2112sin22tan 1tan2(二)基本知能小试1判断正误(1)对于任意角，总有 sin 22sin.()(2)对于任意角，总有 cos 212cos2.()(3)对于任意角，总有 cos 22sin21.()(4)对于任意角，总
2、有 tan 2 2tan 1tan2.()(5)对于任意角，总有 1sin 2sin cos.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)21tan2152tan 15()A.3B.33C1D1解析：原式12tan 151tan2151tan 30 3.答案：A 3.12cos28_.解析：原式122cos281 12cos4 24.答案：24题型一 化简、求值问题学透用活二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos 12sin 2，cos sin 22sin，cos2sin2cos 2，2tan 1
3、tan2tan 2.(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式主要形式有：1sin 2sin2cos22sin cos(sin cos)2，1cos 22cos2，cos21cos 22，sin21cos 22.典例 1 化简求值(1)cos4 2sin4 2；(2)sin 24cos 24cos 12；(3)12sin2 750；(4)tan 15013tan2 1502tan 150.解(1)cos4 2sin4 2cos22sin22 cos22sin22 cos.(2)原式122sin 24cos 24 cos 1212sin 12cos 121
4、42sin 12cos 1214sin 618，原式18.(3)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 6012，原式12.(4)原 式 2tan215013tan2 1502tan 150 1tan2 1502tan 1501tan 3001tan360601tan 60 33，原式 33.方法技巧应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围 对点练清1化简cos25sin25sin
5、40cos 40()A1 B2C.12D1解析：cos25sin25sin 40cos 40 cos 1012sin 80 cos 1012cos 102.故选 B.答案：B 2.3sin 702cos210_.解析：3sin 702cos2103sin 7021cos 20223cos 203cos 202.答案：2题型二 给值求值问题学透用活典例 2(1)若 sin cos 13，则 sin 2_.(2)已知 cos4 35，232，求 cos24 的值解析(1)(sin cos)2sin2cos22sin cos 1sin 2132sin 2113289.答案：89(2)232，34 4
6、0，32 474.sin4 1cos24 135245.cos 2sin22 2sin4 cos4 245 352425，sin 2cos22 12cos24 12352 725.cos24 22 cos 2 22 sin 2 22 2425 725 31 250.方法技巧解决给值求值问题的方法解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系 对点练清1整体求值已知 sin6 13，则 cos23 2 _.解析：cos23 2 cos23
7、2cos23 12sin26 179.答案：792变角求值已知 sin4x 513，0 x4，求 cos 2xcos4x的值解：原式sin22xcos4x2sin4x cos4xcos4x2sin4x.sin4x cos4x 513，且 0 x4，4x4，2，sin4x 1cos24x 1213，原式212132413.题型三 利用倍角公式进行证明学透用活典例 3 求证：cos21tan2tan214sin 2.证明 法一：左边cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos22sin22sin2cos2 cos2sin2cos2cos22sin22cos2sin2cos2cos sin
8、 2cos 2cos 12sin cos 14sin 2右边，等式成立法二：左边cos2tan21tan2212cos22tan21tan2212cos2tan 12cos sin 14sin 2右边，等式成立方法技巧证明问题的原则及一般步骤(1)原则：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2)一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的 对点练清 求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B.证明：左边1cos2
9、A2B21cos2A2B2 cos2A2Bcos2A2B212(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立题型四 三角恒等变换与三角函数性质综合学透用活典例 4 求函数 f(x)5 3cos2x 3sin2x4sin xcos x，x4，724 的最小值，并求其单调递减区间解 f(x)5 31cos 2x2 31cos 2x22sin 2x3 32 3cos 2x2sin 2x3 3432 cos 2x12sin 2x 3 34sin3cos 2xcos3sin 2x3 34sin32x 3 34si
10、n2x3，因为4x724，所以62x34，所以 sin2x3 12，22，所以当 2x34，即 x724时，f(x)取最小值为 3 32 2.因为 ysin2x3 在4，724 上单调递增，所以 f(x)在4，724 上单调递减方法技巧应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成 f(x)asin xbcos xk 的形式；(3)利用辅助角公式化为 f(x)Asin(x)k 的形式，研究其性质 对点练清求函数 ysin4x2 3sin xcos xcos4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间解：ysin4x2 3sin xcos
11、 xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x232 sin 2x12cos 2x2sin2x6，所以 T22，ymin2.由 2k22x62k32，kZ，得 k3xk56，kZ，又 x0，所以令 k0，得函数的单调递减区间为3，56.课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1函数 y12cos2x 的最小正周期是()A.4 B.2CD2解析：y12cos2xcos 2x，其最小正周期是 T22.故选 C.答案：C 2(2018全国卷)若 sin 13，则 cos 2()A.89 B.79C79D89解析：sin 13，cos 21
12、2sin21213279.故选 B.答案：B 3若 sin2 35，则 cos 2_.解析：sin2 35，cos 35.cos 22cos2123521 725.答案：7254化简：1sin 10 1sin 10_.解析：原式 sin 5cos 52 sin 5cos 52|sin 5cos 5|cos 5sin 5|2sin 5.答案：2sin 5二、创新应用题5已知2，cos 45.(1)求 tan 的值；(2)求 sin 2cos 2 的值解：(1)因为 cos 45，2，所以 sin 35，所以 tan sin cos 34.(2)sin 22sin cos 2425，cos 22c
13、os21 725，所以 sin 2cos 22425 7251725.三、易错防范题6已知 是第二象限角，化简 1sin 1sin.解：原式12sin2cos212sin2cos2sin2cos22sin2cos22sin2cos2 sin2cos2.因为 是第二象限角，即 2k22k，kZ，所以 k42k2，kZ，故原式2sin22k422k2，kZ，2sin22k54 22k32，kZ.易错矫正 本题易错点一是在去根号时，对 sin2cos2的符号未加以讨论，导致化简错误二是盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略了定义域要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法 “课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
