1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用知识链接1两角和公式与二倍角公式有联系吗？答有联系在S()，C()，T()中，令即可得S2，C2，T2.2什么情况下sin 22sin ，tan22tan ？答一般情况下，sin 22sin ，例如sin 2sin ，只有当k(kZ)时，sin 22sin 才成立只有当k(kZ)时，tan 22tan .预习导引1倍角公式(1)S2：sin 22sin cos ，sin cos sin ；(2)C2：cos
2、2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.2倍角公式常用变形(1)cos ，sin ；(2)(sin cos )21sin 2；(3)sin2，cos2；(4)1cos 2sin2,1cos 2cos2.要点一给角求值问题例1求下列各式的值：(1)sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)；(5)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(4)原式4.(5)原式.规律方法此类题型(1)(2)
3、(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解跟踪演练1求下列各式的值(1)sin sin；(2)cos215cos275；(3)2cos21；(4).解(1)sinsin()cos，sinsinsincos2sincossin.(2)cos275cos2(9015)sin215，cos215cos275cos
4、215sin215cos 30.(3)2cos21cos.(4)tan 60.要点二给值求值问题例2已知sin，0x，求的值解原式2sin.sincos，且0x，x，sin.原式2.规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：x与x存在互余关系特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号跟踪演练2已知cos，求cos的值解，0，2(0，)，tan 20，2，又tan 0，(0，)，tan(2)1，又2，2(，0)，2.规律方法在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角其中确定角的范围是关键的一步跟踪演练3已知tan ，s
5、in ，且，为锐角，求2的值解tan 1，且为锐角，0，又sin ，且为锐角，0，02.由sin ，为锐角，得cos ，tan ，tan()，tan(2)1，故2.1cos275cos215cos 75cos 15的值等于()A. B. C. D1答案C解析原式sin215cos215sin 301.2sin4cos4等于()A BC. D.答案B解析原式cos .3. .答案1解析原式tan 15tan(6045)1.4设sin 2sin ，则tan 2的值是 答案解析因为sin 22sin cos sin ，所以cos ，sin ，所以tan ，则tan2.1.对于“二倍角”应该有广义上的
6、理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN*)2二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2. 一、基础达标1.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()答案B解析如图所示，当x(0，)时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MMOP，M为垂足，则si
7、n x，sin x，f(x)sin xcos xsin 2x，则当x时，f(x)max；当x(，)时，有sin(x)，f(x)sin xcos xsin 2x，当x时，f(x)max.只有B选项的图象符合2.的值是()A. B. C2 D.答案C解析原式2.3若sin()，则cos(2)的值为()A B C. D.答案B解析cos(2)cos(2)cos2()12sin2()2sin2()1.4若1，则的值为()A3 B3 C2 D答案A解析1，tan .3.5若，则的值为()A2cos B2cos C2sin D2sin 答案D解析，原式sincossincos2sin.6若，且sin2 c
8、os 2，则tan 的值等于 答案解析由sin2 cos 2得sin2 12sin2 1sin2 cos2 .，cos ，tan tan.7已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sin sin 2.二、能力提升84cos 50tan 40等于()A. B.C. D21答案C解析4cos 50tan 404cos 50，选C.9函数ysin 2x2sin2 x的最小正周期T为 答案解析ysin 2
9、x2sin2 xsin 2x2sin 2xcos 2x2sin，所以周期T.10已知tan 3，则 .答案3解析tan 3.11(1)已知，化简；(2)化简：sin 50(1tan 10)解(1)，|cos |cos ，|sin |sin .cos .(2)原式sin 501.12在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，点Q(sin2 ，1)在角的终边上，且.(1)求cos 2的值；(2)求sin()的值解(1)因为，所以sin2 cos2 ，即(1cos2 )cos2 ，所以cos2 ，所以cos 22cos2 1.(2)因为cos2 ，所以sin2 ，所以点P，点Q，又点P在角的终边上，所以sin ，cos .同理sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .三、探究与创新13已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)abcos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期T.所以f(x)sin最小正周期为.(2)当x时，由正弦函数ysin x在上的图象知，f(x)sin.所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，.
