1、2抛物线2.1抛物线及其标准方程1.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.答案:B2.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是()A.x2=-256yB.x2=-2512yC.x2=-365yD.x2=-2524y答案:A3.抛物线x2=14y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是()A.1716B.78C.1D.1516解析:由准线方程为y=-116,可知M到准线的距离为1,点M到x轴的距离等于1-116=15
2、16.答案:D4.抛物线y2=24ax(a0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x解析:由题意知,3+6a=5,a=13,抛物线方程为y2=8x.答案:A5.抛物线y2=2px(p0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则()A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|CF|=x3+p2.|
3、AF|,|BF|,|CF|成等差数列,2x2+p2=x1+p2+x3+p2,即2x2=x1+x3.故选A.答案:A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=4xD.y2=8x解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为a4,0.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2x-a4,令x=0得y=-a2,故点A的坐标为0,-a2.由题意可得12|a|4|a|2=4,a2=64,a=8.答案:B7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF
4、|=.解析:设点A的坐标为(x,y).因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,所以x=1.所以A(1,2).又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:OA的垂直平分线交x轴于点54,0,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-54.答案:x=-549.若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得(x-1)2+y2+1=|x+2|,(x-1)2+y2=|x+2|
5、-1=x+1.两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,x2-2x+1+y2=x2+2x+1,y2=4x,点P的轨迹方程为y2=4x.(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.答案:y2=4x10.如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离.解:设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A,M,B(如图).由抛物线的定义,得|AF|
6、=|AA|=y1+p2=y1+14,|BF|=|BB|=y3+p2=y3+14,y1=|AF|-14,y3=|BF|-14.又M是线段AB的中点,y2=12(y1+y3)=12|AF|+|BF|-1212|AB|-12=12a-12.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为12a-12.11.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-32;(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解:(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情
7、况:焦点为(4,0)时,p2=4,p=8,方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,p2=3,p=6,方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),p2=2,p=4,方程为y2=-8x.(3)准线为y=-32,p2=32,p=3,开口向上,方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),|x0+5|=8,x0=3或x0=-13,焦点为(3,0)或(-13,0),p2=3或-13,p=6或-26.方程为y2=12x或y2=-52x.12.某河上有
8、座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为34m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA为水面宽,且AA=8 m),所以16=-2p(-5),2p=165,所以抛物线方程为x2=-165y(-4x4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B(B与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-165y,得y=-54,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+34=54+
9、34=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.备选习题1.抛物线y2=8x的准线方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4解析:由2p=8,得p=4,故准线方程为x=-2,故选A.答案:A2.设抛物线y2=mx(m0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程是.解析:当m0时,由2p=m,得p2=m4.这时抛物线的准线方程是x=-m4.抛物线的准线与直线x=1的距离为3,1-m4=3,解得m=8.这时抛物线的方程是y2=8x.同理,当m0)的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明:设线段P1P2的
10、中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.P1Q1P0Q0P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,|P0Q0|=12(|P1Q1|+|P2Q2|)=12|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆的半径,且P0Q0l,因此,该圆与准线相切.5.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:将l和C的方程联立,得y=kx+1,y2=4x.消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=14,y=1.直线l与C只有一个公共点14,1,此时直线l平行于x轴.(2)当k0时,方程(*)是一个一元二次方程.当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;当1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k1时,直线l与C没有公共点.
