1、江苏省泗阳县众兴中学高二下学期期末模拟考试（四）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1若是虚数单位，复数，则的共扼复数在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知离散型随机变量的分布列为则下列说法一定正确的是（ ）ABCD3已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）A2B-2C8D-84已知函数在处有极值10，则（ ）AB0C或0D或652020年11月，兰州地铁号线二期开通试运营甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个
2、地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）ABCD6设，随机变量的分布列是01则当在内增大时，（ ）A增大B减小C先减小后增D先增大后减小7欧拉公式(其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”根据上述材料可知的最大值为（ ）A1B2CD48若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函
3、数”，则实数的取值范围为（ ）ABCD二多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).9下列叙述正确的是（ ）A若事件发生的概率为，则B分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C线性回归直线必过点D对于任意两个事件和，都有10已知，则下列选项正确的是（ ）ABCD展开式中系数最大的为11为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地
4、依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）ABCD12关于函数，下列说法正确的是（ ）A函数的极小值为B函数有且只有个零点C存在负实数，使得恒成立D对任意两个正实数、，且，若，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13欧拉公式(为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为_14曲线在点处的切线的斜率为，则_15的展开式中常数项
5、为_.16函数的递增区间为_；若，则函数零点的取值范围是_四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17复数，满足的虚部是2，对应的点A在第一象限.（1）求；（2）若在复平面上对应点分别为，求.18甲、乙两个乒乓球队进行单打擂台赛，规则如下：每队两名队员参赛，编号分别为1号、2号，第一局先由双方1号对1号，负者淘汰，之后的每局比赛均由上一局的胜方队员与负方的另一名队员进行比赛，直到某队的两名队员全部淘汰，则另一队胜出表格中，第行第列的数是甲队号队员战胜乙队号队员的概率0.50.40.60.5（1）求甲队胜出的概率；（2）设为比赛局数
6、，求的分布列和均值19已知的展开式中各项的二项式系数之和为32求n的值；求的展开式中项的系数；求展开式中的常数项20已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：，）21上海是中国国际经济贸易金融航运科技创新中心以及国家物流枢纽.上海的经济发展也走在全面前列.上海市20122018年每年的社会平均工资(单位：元)如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号社会平均工资增长率8.358%7.332%8.241%8.971%9.513%9.656%9.815%（1）若关于的线性回归方程为，求实数的值；
7、(注：上海市20122018年社会平均工资的平均值为元)（2）若某一年比上一年社会平均工资增长率超过9%(包括9%)，则称该年居民收入“快速增长”.小王在上海工作，以上海市20122018年社会平均工资为小王20122018年年工资收入，在20122018年中任选三年，记这三年中小王收入“快速增长”的年数为，求的分布列和数学期望.22已知函数（为自然对数的底数）（1）若在点处的切线方程为3xy70，求a的值；（2）讨论的单调性模拟复习四答案1【答案】A【分析】利用复数四则运算进行化简即可求解.【详解】解：复数，所以，故在复平面上对应的点位于第一象限故选：A2【答案】D【分析】利用公式计算出两个
8、随机变量的期望和方程后可得正确的选项.【详解】，故，故选：D.3【答案】B【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故选：B4【答案】A【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案.【详解】由函数有.函数在处有极小值10.所以，即解得: 或当时，令得或，得所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.当时，所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.所以故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错
9、题，属于中档题.5【答案】B【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算西站十字没人去的情况数目，分析可得西站十字一定要有人去的游览方案数目，即可得答案【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园每人有2种选择方法，则4人一共有种情况，故西站十字一定要有人去有种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65种；故选：6【答案】D【分析】计算出，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】，对称轴为，当在内增大时，先增
10、大后减小，故选：D.7【答案】B【分析】根据题意得，进而根据复数的模的公式并结合三角函数的范围求解即可得答案.【详解】根据和得，所以，由于，所以，所以所以的最大值为.故选：B【点睛】本题考查数学文化，复数的模的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得，进而根据复数的模的公式求解.8【答案】D【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数
11、中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.9ABC【分析】利用事件概率的取值范围可判断A选项的正误；利用分层抽样的定义可判断B选项的正误；利用回归直线过样本的中心点可判断C选项的正误；利用互斥事件的概率加法公式可判断D选项的正误.【详解】A选项，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，A对；B选项，根据分层抽样的定义得，分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，B对；C选项，线性回归直线必过点，C对；D选项，对于任意两个事件和，只有当事件和是互斥事件时，才有，D错.故选：ABC.10【答案
12、】BD【分析】根据二项展开式的通项可求得，知A错误；采用赋值法，令和，则可求得B正确；采用赋值法，令可求得，由此可计算知C错误；根据二项展开式通项分别求得展开式中系数为正的项，则可知D正确.【详解】展开式通项公式为：，对于A，令，则，A错误；对于B，令，则；令，则；，B正确；对于C，令得：，C错误；对于D，为正数，为负数，又，展开式中系数最大的为，D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：在求解与二项展开式各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法，即给取值，从而去除变量的影响，得到所需的系数和.11ABC【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】,故A正
13、确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选: ABC12【答案】ABD【分析】利用导数求函数的极值可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断B选项的正误；分析函数的单调性，可判断C选项的正误；构造函数，利用函数和的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A，函数的定义域是，且，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故A正确；对于B，令，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，故，故函数在上单调递减，又，故函数有且只有个零点，故B正确；对于C，设，若时，记，由二次函数的基本性质可知，当时，即函数在上单调递减，当时，因此，不存在实数，使得恒成立，C选
14、项错误；对于D：设，结合A选项可知，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，所以，即，因为函数在上单调递增，所以，因此，D选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.13【分析】根据欧拉公式求出，再由复数乘法运算即可求出.【详解】根据欧拉公式可得，则.14【答案】【解析】由题知，则，所以15【答案】【分析】直接利用二项展开式的通
15、项公式即可求解.【详解】，故展开式中常数项为：.故答案为：【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析16【答案】， 【分析】求出导函数，研究利用导数与函数单调性的关系即可求得单调增区间，将g(x)=0分离参数，利用f(x)的性质可以求得g(x)的零点的取值范围.【详解】解：函数的定义域为,显然在定义域内，且仅在时,在定义域的各个区间内都是单调增函数，即的单调增区间是，;当时，,当时，在上,在时.令,显然不是的零点，分离参数得,当时,由，满足的x的值大于-2，得，在上单调递增，即的零点的取值范围是,故答案为： ，；.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点的范围，属中
16、档题，难点在于导函数的计算，一定要正确使用商的导数的运算法则，注意函数的定义域和分析函数的正负，注意将g(x)的零点问题，分离参数转化为关于f(x)的不等式问题，利用f(x)的性质求解.17【答案】（1）z=1+i,（2）【解析】试题分析; （1）利用已知条件列出方程组求解即可（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可试题解析:（1）依题意得，结合x0,y0知，x=1,y=1（2）由（1）值z=1+i, , 所以A（1,1），B（0,2），C（1，-1）有AB=，AC=2，BC= 由余弦定理可得cosABC=18【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，均值.【分析】（1）把“甲队胜
17、出”可分为2个互斥事件：“比赛两局胜出”和“比赛三局胜出”分别求概率即可得到；（2）X的可能取值为2,3，分别求概率，写出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）“甲队胜出”可分为2个互斥事件：“比赛两局胜出”和“比赛三局胜出”“比赛两局胜出”的概率为，“比赛三局胜出”的概率为，故“甲队胜出”的概率为.（2）乙队两局胜出的概率为：，乙队三局胜出的概率为：故,，X的分布列为X23P0.40.6.【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义（根据试验本身分析）；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范
18、形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.19【答案】(1)5.(2)80.(3)-30.【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为求解即可（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解（3）根据展开式的通项并结合组合的方法求解详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得，解得（2）由题意得的通项公式为，令，解得，所以的展开式中项的系数为（3）由（2）知，的展开式的通项为，令，解得；令，解得故展开式中的常数项为点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围(0，1，2，n)（2）使用二项式的通项公式时要注意：通项公式表示的是第r
19、1项，而不是第r项；通项公式中a和b的位置不能颠倒20【答案】（I）（II）存在，理由见解析.【分析】（1）求在处的函数值和导数值，点斜式求切线方程即可；（2）令，若存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则存在，.求在上的值域，即可判断是否存在.【详解】解：（1），则切线方程为：，即.（2）令，若存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直，则存在，.，令，解得：.所以在上单调递减，在上单调递增.，故，所以存在，使得，例如.【点睛】思路点睛：若存在在两点处的切线垂直，则存在在两点处的导数值乘积为-1，求导研究函数的值域，即可判断是否存在函数值相乘为-1.21【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学
20、期望：.【分析】（1）求出和，由回归直线过中心点可得；（2）根据数据确定的取值为，计算出各概率后，得分布列，然后由期望公式计算期望【详解】解：（1）由，有.故实数的值为.（2）的取值为，.的分布列为：0123.22【答案】（1）；（2）答案见解析【分析】（1）先由切线方程求出切点坐标，将切点坐标代入函数的方程即可.（2）求出，则只需对进行讨论，即分，和进行分类讨论,即可.【详解】解：（1）切线经过点，即，解得（2）时，可得在上单调递增，在上单调递减时，令，解得，令，解得时，则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增时，函数在R上单调递增时，则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，函数在R上单调递增当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增【点睛】关键点睛：本题考查根据切线方程求参数含参数的单调性讨论，解答本题的关键是分，和对进行分类讨论，属于中档题.
