1、2.2向量的减法【知识提炼】1.相反向量及性质相反向量定义与a长度_、方向_的向量，叫作a的相反向量，记作：_.性质(1)-(-a)=_.(2)如果a，b是互为相反的向量，那么a=_，b=_，a+b=_.(3)a-b=a+_.(4)零向量的相反向量仍是_.相等相反-aa-b-a0(-b)零向量2.向量的减法及几何意义向量的减法向量a加上向量b的_,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法.向量减法的几何意义如图，设则=a-b，即a-b表示从_的终点B指向_的终点A的向量.相反向量向量b被减向量a【即时小测】1.思考下列问题:(1)任何向量与其相反向量共线吗?提
2、示:共线.如果该向量为零向量,其相反向量也是零向量,零向量与任何向量共线;如果该向量不是零向量,该向量与其相反向量方向相反,所以共线.(2)向量的加法运算律适用于向量的减法吗?提示:适用.向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算,因此适用.2.=()【解析】选B.3.在ABC中,则=()A.a-bB.b-a C.a+b D.-a-b【解析】选D.因为4.在ABC中,D是BC的中点,设则d-a=_.【解析】如图,答案:c5.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且则 =_.(用a,b表示)【解析】如图,=-a-b.答案:-a-b【知识探究】知识点向量的减法观察如图所示内容,回答下列问
3、题:问题1:向量的相反向量是怎样定义的?有何性质?问题2:如何进行向量的减法运算?运算法则是什么?【总结提升】1.相反向量的意义(1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法.(2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量,实现向量的“移项”.例如,由a+b=c+d可得a-c=d-b.2.对相反向量的三点说明(1)a与-a互为相反向量.(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念,相反向量是方向相反的向量,反之不成立.(3)相反向量与相反数是两个不同的概念,相反数是两个数符号相反,绝对值相等;相反向量是方向相反,模长相等的两个向量.3.对向量
4、减法的理解(1)实质:向量减法的实质是向量加法的逆运算.(2)应用:利用相反向量的定义,把其中减向量的方向变为与原方向相反,大小不变就可以把减法化为加法.在用三角形法则作两个共起点的向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.4.非零向量a,b的差向量的不等式(1)当a,b不共线时,如图,作因为在三角形中两边之和大于第三边,于是|a-b|b|,则a-b与a,b同向(如图),于是|a-b|=|a|-|b|.若|a|b|,则a-b与a,b反向(如图),于是|a-b|=|b|-|a|.(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图).可见
5、,对任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:|a|-|b|a-b|a|+|b|.【题型探究】类型一向量减法的几何意义【典例】1.如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD交于O点,则 =_.2.如图所示,O为ABC内一点,求作:b+c-a.【解题探究】1.两个向量作差的前提条件是什么?提示:前提条件是两向量同起点.2.题2中三个向量有何共同的特点?提示:三个向量同起点.【解析】1.答案:2.方法一:以为邻边作OBDC,连接OD,AD,则方法二:作连接AD,则【方法技巧】利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a,b,如图所示,作利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两
6、个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图所示,作【拓展延伸】向量加法与减法的几何意义的联系(1)如图所示,平行四边形ABCD中,若(2)类比|a|-|b|a+b|a|+|b|.可知|a|-|b|a-b|a|+|b|.【变式训练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.【解析】方法一:如图,在平面内任取一点O,作再作方法二:如图,在平面内任取一点O,作再作=c,连接OC,则=a+b-c.类型二用已知向量表示其他向量【典例】平行四边形中,用a,b表示向量【解题探究】如何
7、建立被表示的向量与已知向量间的联系?提示:由向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则可得.【解析】由平行四边形法则得:【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)平行四边形中,当|a|=|b|时,试判断的关系.【解析】由平行四边形法则得:因为|a|=|b|,所以四边形为菱形,所以互相垂直.2.(改变问法)本例条件不变,当a,b满足什么条件时,|a+b|与|a-b|相等?【解析】由平行四边形法则知,因为AC,BD为平行四边形的两条对角线,所以要使|a+b|=|a-b|,需四边形是矩形,故当a,b垂直时,|a+b|与|a-b|相等.【方法技巧】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个
8、关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系.注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律.注意在封闭图形中利用多边形法则.【补偿训练】设O是ABC内一点,且若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形,所以 =a+b,所以 =c-(a+b)=c-a-b.又四边形ODHC为平行四边形,所以 =c+a+b,所以 =a+b+c-b=a+c.【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,如何用向量
9、a,b,c表示出向量?【解析】由以上可得2.(变换条件)本题条件改为如图所示,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且试用向量a,b,c表示向量【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以所以类型三向量加法、减法的综合应用【典例】如图,已知向量满足|a|=1,|b|=2,且BAD=60,求|a-b|.【解题探究】|a-b|在图形中实际上是什么?提示:|a-b|在图形中实际上是ABD的一条边长.【解析】由向量减法的三角形法则可知=a-b,在ABD中,因为BAD=60,AD=1,AB=2,所以ABD为直角三角形,即ADBD,BD=ADtan60=1 =.所以|a-b|=.【延伸探究】
10、本例条件变为“|a|=1,|b|=2,且|a-b|=2”,求|a+b|.【解析】如图,在平面内任取一点A,作由题意,过点B作BEAD于点E,过点C作CFAB交直线AB于点F.因为AB=BD=2,所以AE=ED=AD=.因为CBF=EAB,又在ABE中,所以BF=BCcosCBF=1 =.所以CF=所以AF=AB+BF=所以在RtAFC中,即|a+b|=.【方法技巧】向量加法与减法的综合应用时的注意点(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算,一般利用三角形法则求解.(2)向量减法运算在平行四边形中的应用,要明确a-b的几何意义.(3)向量减法的几何意义往往与向量加法的几何意义结合应用,在应用的过程
11、中要结合矩形、正方形、三角形的边角性质,因此要熟悉相关的图形的性质.【变式训练】如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设【解题指南】要证明b+c-a=,可转化为证明b+c=+a,从而利用向量加法证明;也可以从c-a入手,利用向量减法证明.【证明】在ABCD中,因为又因为所以【补偿训练】已知A,B,C是不共线的三点,O是ABC内一点,若求证:O是ABC的重心.【证明】因为方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC为相邻的两边作平行四边形,则所以A,O,D三点共线.在平行四边形OBDC中,设OD与BC交于E,则所以AE是ABC的边BC上的中线,且所以点O是ABC的重心.易错案
12、例向量的减法法则的应用【典例】(2015亳州高一检测)如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则=_.(用r1,r2,r3表示)【失误案例】【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于误用了向量的减法法则.减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.即【自我矫正】=r3+r1-r2.答案:r3+r1-r2【防范措施】1.相等向量的灵活代换解决以平面几何图形为背景的加减法运算时,要注意平面几何知识的应用,如本题由平行四边形ABCD得并正确代换是解题的关键.2.运算法则的灵活应用减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.应把首尾相接的放在一起计算,起点相同的放在一起计算.必要时,可画出图像,结合图像观察将使问题更为直观.
