1、北师大版必修四第三章第二节3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数教学设计【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章两角和与差的正弦、余弦函数，本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为
2、本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪； 【教学目标】 1、知识与技能：掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，回顾已学过的诱导公式以及其应用，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。 2、过程与方法：让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力。 3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴
3、趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 【教学重点和难点】 教学重点：两角和与差的余弦公式以及正弦公式的推导及运用 教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用 （设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课 “两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。） 【教学方法】 情景教学法；问题教
4、学法；直观教学法；启发发现法。 【学法指导】 1、注意任意角的终边与单位圆交点坐标、平面向量的坐标的表示以及平面向量的数量积的两种表示形式的复习为两角差的余弦的推导做必要的准备，并让学生体会感悟向量在解决数学问题中的工具作用(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)； 2、突出诱导公式在三角函数名称变换中的作用以及变角思想让学生进一步体会数学的化归思想。 3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察掌握公式的特点。 【教学过程】 教学流程为：创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题。 （一）创设情境，揭示课题 问题1
5、： 同学们一起回忆一下向量积的概念性计算公式以及坐标运算公式是什么？以及单位圆与终边交点的坐标表示是什么？【设计意图】通过问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入新知学习。 （二）问题探究，新知构建 问题2：你能用与的三角函数值表示出这两个角的终边与单位圆的交点P的坐标吗？怎样表示？ 【师生活动】画单位圆在直角坐标系中画出单位圆并作出与角的终边与单位圆的交点，引导学生利用三角函数值表示出交点坐标。 【设计意图】通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。 问题3：如何计算向量的数量积？ 【师生活动】引导学生观察是的
6、夹角，引发学生对向量的思考，并及时启发学生复习向量的数量积的的两种表示。 【设计意图】平复习面内两向量的数量积的几何法与代数法两种表示，从而使“两角差的余弦公式”的推证水到渠成。问题4：通过减法的逆运算以及诱导公式cos（-）=cos，sin（-）=-sin的运用，推导得出两角和差的正、余弦公式。 cos（+）= cos cos- sin sin cos（-）= cos cos+ sin sin sin（+）=sincos+cossin sin（-）=sincos-cossin【设计意图】师生合作进行，同时在推导过程中以学生为主体，避免学生对公式进行生涩的记忆，以及从根本上避免学生对公式的刻板
7、运用。达成新知的构建并体会转化思想的应用。 （三）知识应用，熟悉公式 例1：不查表，求cos75，cos15的值.【设计意图】进一步熟悉诱导公式、两角和与差的三角函数公式的特点及正逆应用。 例2：把下列各式化为一个角的三角函数形式(1) sin+cos(2) Sin+cos 【设计意图】考察利用辅助角公式 课堂训练1. 求cos50cos20+sin50sin20的值 2.cos255cos195-sin75sin195=_. 【设计意图】通过变式训练与讨论进一步培养学生自主探究、合作学习交流的能力，以熟悉公式的变形运用并掌握两角和与差的正余弦公式的特征及应用。 （五）小结反思，评价反馈 1、
8、本节学习的内容有哪些？ 2、两角和与差的三角函数公式有什么特点？运用两角和与差的三角函数公式可以解决哪些问题？3、你通过本节学习有哪些收获？【设计意图】进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，培养学生的归纳总结能力和交流表达能力，让学生获得成功体验。 （六）作业布置，练习巩固 作业： 习题32 A组 第3,4,5题【设计意图】巩固和理解知识，掌握两角和与差的三角函数公式。并引发学生对新知学习与探求的欲望和兴趣。 【教后反思】本节教学设计首先通过问题情景阐述了两角差的余弦公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中以原点为起点的两向量的数量积的两种表示，对任意与的和差的正余弦
9、公式的证明，以及回顾应用诱导公式，这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念。由浅入深，让学生在问题中探究，在探究中建构新知。使学生在已有基础上，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，加强了学生对新知的掌握和灵活运用。给学生思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。但课后发现小结仓促，如果能再引导学生自我小结、反思。可能会更好。【关于教学设计的思考】1、本节课授课内容为普通高中课程标准实验教科书数学（4）（北师大版）第三章，本节
10、课的教学重点是：两角和与差的正余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节的一个难点。所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，例题、练习、作业应用绕这两方面设计。而平面内两向量的数量积的两种形式的应用又是推导两角差的余弦公式的关键；因此在复习平面内两向量的数量积的两种形式是本节课必要的准备。 2、本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用问题教学，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目
11、的性，减少盲目性。在利用平面内两向量的数量积的几何形式、代数形式建立等式，而得到两角差的余弦公式后，利用代数思想推出两角和的余弦公式，进而得出其他三个公式，使学生进一步体会数学思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。3、数学的学习，主要是培养人的思维课程，强调思维构造，以问题解决为主的课程，既注重人的智慧获得，又注重人的情感发展，因而在教学中，应注意“完整的人”的数学教育，不搞“以智力开发为主的教育”，使学生成为真正的人。因此在课堂教学中，教学设计应从学生出发，给学生更多的自由，让他们真正参与，注重学习的过程，尤其重视以学生为主的数学活动，注重学生的自我完善，自我发展，不把学生当成接受知识的容器，要教会学生学会学习，尤其是有意义的接受学习和发现学习，“授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼祗救一时之及，授人以渔则可解一生之需”。在数学教育中，注重培养学生的自信，自重，自尊，使他们充满希望和成功，促进其健康人格的形成。只有这样，才能让数学课更有生机和人性，才能学生真正成为学习的主人。
