1、四川省武胜烈面中学校2021届高三数学9月月考试题 理第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则 （ ）A. B. C. D.2复数为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3已知函数，则 （ ）A. B. C. D.4为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。某校高=(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从
2、该班抽取5名学生参加“全国爱眼日宣传活动。已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读则抽取的第5名学生的学号是（ ）A.17 B.23 C.35 D.375 ”是“直线与圆相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6
3、已知离心率为的双曲线，与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.7执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. B. C. D.8设函数的导函数是若，则( )A. B. C. D.9如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.10在平面直角坐标系中，已知直线与曲线为参数在第一象限恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.11已知函数若，则的大小关系为( )A. B. C. D.12设，若不等式在上恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4
4、小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13.的展开式中的系数为_.14.若数列为等差数列，且，则的值等于 _.15.已知正方体，若在存在点使直线两两所成的角都为，则_16已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为 三、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120.（1）若a=2b，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且CD=1，求ABC的面积的最小值.18（本小题满分12分）2019年12月，生活垃圾分类标志新标准
5、发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组频数第一组25,30)200第二组30,35)300第三组35,40)第四组40,45)150第五组45,50)第六组50,5550合计1000各年龄段频数分布表(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中的值；()现从年龄在段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名
6、发言者中恰有1名年龄在段中的概率。19.（本小题满分12分）如图，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图所示的四棱锥(I)求证：平面平面；()若为的中点，求二面角的余弦值20.（本小题满分12分）在同一平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后，得到曲线(I)求曲线的方程；()设直线与曲线相交于两点，连接并延长与曲线相交于点，且求面积的最大值21.（本小题满分12分）已知函数，(I)设的导函数为，试讨论的零点个数；()设当时，若恒成立，求的取值范围【选考题】共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直
7、角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(I)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；()已知点若直线与曲线相交于两点，求的值23.选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求证：； （2）若，求证：.答案详解第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则C(A) (B) (C) (D)解：，故选C2复数为虚数单位在复平面内对应的点位于B(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解：，其在复平面内对应的点的坐标为，故选B3已知函数，
8、则D(A) (B) (C) (D)解：，故选D4为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”某校高=(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日宣传活动已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 2
9、1 76 33 50 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读则抽取的第5名学生的学号是C(A)17 (B)23 (C)35 (D)37解：读取的前5名学生的学号依次是：39，17，37，23，35， 故选C5 ”是“直线与圆相切”的A(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解：直线与圆相切时，解得故选A6已知离心率为的双曲线，与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为C(A)(B)(C)(D)解：设与椭圆有公共焦点的双曲线方程为，由题意知，解得，所以为所求，故选C7执行如图所示的程序框图，则输出的结果为B(A) (B) (
10、C) (D)解：开始故选B8设函数的导函数是若，则B(A) (B) (C) (D)解：，从而，即，故选B9如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为C(A) (B) (C) (D)解：其直观图如图所示即球中减去上半球的右前的球，及下半球的左后的球去掉的两个球的球面面积为，因此而显出来的截面面积为六个圆的面积，为，所以该几何体的表面积为：，故选C10在平面直角坐标系中，已知直线与曲线为参数在第一象限恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为D(A)(B)(C)(D)解：曲线的普通方程为结合图象：过点，的直线的斜率为，设过点与抛物线相切时的斜率为，由消去，得，由得，故选D
11、11已知函数若，则的大小关系为A(A) (B) (C) (D)解：显然为偶函数，定义域为，所以当且，当时，单调递减且；当时，单调递增且；当时，单调递增且； ，如图由于，所以；，所以，所以，故选A12设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是D(A)(B)(C)(D)解法一：令，则，所以在上单调递增又因为，所以在上是上凸的因此关于的不等式在上恒成立，只需直线与函数在任意点处的切线重合即可因为，所以在点点处的切线方程为：，即，所以，从而令，则，且令，则，易知，在上单调递减，在上单调递增，所以，故选D解法二：因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立令，则在上恒成立令，则当时，在上单调递增，且，不合题意，
12、舍；当时，由，得，单调递增；同理时，单调递减因此当时，取最大值，且，即，即所以令，则，易知当，即时，取得最小值，且，从而的最小值是，故选D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13-56 14. 15. 16. 16已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为 解：设椭圆的右焦点为，线段的中点为，如图注意到，所以线段的中点在圆上 易知，即由椭圆的定义知，从而连由于点在圆上，所以从而又由直线的斜率，所以，即，即，所以，从而，所以椭圆离心率的最小值为，填三、 解答题：17（本小题满分12分）（1）解
13、法一 由a=2b及正弦定理知，则，则，得解法二 ， 则，.（2）由题意知，则，由，得，则，当且仅当a=b时等号成立.18（本小题满分12分）解：(I)第三组的频率为，2分第三组直方图的高为 3分补全频率分布直方图如下图：4分由频率分布直方图，知，6分()由(I)知年龄在段中的人数与年龄在段中的人数的比值为所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在段中的有3名，年龄在段中的有2名 8分不妨设年龄在段中的3名为，年龄在段中的2名为由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：共10种10分其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在段的情况有：共6种 11分故所求概率为 12分19.（本小题满分12分）解：
14、(I)在图中，连接四边形为菱形，是等边三角形为的中点， 1分又，在图中， 2分，又，平面平面4分平面，平面平面 6分()由(I)，知，平面平面以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则为的中点，设平面的一个法向量为由得8分令，得 9分又平面的一个法向量为 10分设二面角的大小为，由题意知该二面角为锐角则二面角的余弦值为 12分20. （本小题满分12分）21. 解：(I)设圆上任意一点经过伸缩变换得到对应点将，代人，得，化简得曲线的方程为4分()由题知当直线的斜率不存在时，由，则两点重合，不满足题意5分当直线的斜率存在时，不妨设直线，因点关于原点对称，故由消去，
15、化简得，即(*)， 6分由，即得8分设点到直线的距离为，则又， 9分令，则 10分，当且仅当时等号成立此时，且满足(*)式 11分面积的最大值为2 12分21.（本小题满分12分）解：的零点个数等价于方程的根的个数 1分设，则考虑直线与曲线的公共点个数令，解得当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增的最小值为又，当时，；当时，当时，；当时， 2分由其函数图象性质，可得： 或，即或时，直线与曲线有1个公共点；3分当，即时，直线与曲线有2个公共点；4分当，即时，直线与曲线无公共点综上所述，当或时，有且只有1个零点；当时，有2个零点；当时，无零点 5分()当时，若成立，即对恒成立，亦即对恒成立
16、 6分设函数对恒成立又，设当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增在上单调递增 8分又，在上恒成立令，则 时，在上恒成立，此时满足已知条件， 9分当时，由，解得当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增的最小值，解得 11分综上，的取值范围是 12分22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：(I)由直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为2分由，得曲线的直角坐标方程为4分()将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，并整理得(*) 6分设是方程(*)的两个实数根，则有， 8分10分23.证明：（1）由条件，有，所以，即，所以.（2）因为，所以，要证，只需证（*），只需证因为，所以，即（*）式成立，故原不等式成立.
