1、题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2015北京高考)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,23上的最小值.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,B都是锐角,a=6,b=5,sin B=12.(1)求sin A和cos C的值;(2)设函数f(x)=sin(x+2A),求f2的值.3.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+bsin(A+B)=a-csinA-sinB,b=3.(1)求角B;(2)若sin A=33,求ABC的面积.4.已知函数f(x)=sin x+aco
2、s x的图象经过点-3,0.(1)求实数a的值;(2)设g(x)=f(x)2-2,求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间.5.(2015湖北八市联考)已知函数f(x)=3acos2x2+12asin x-32a(0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且ABC是边长为4的正三角形.(1)求与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0-103,23,求f(x0+1)的值.6.(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的
3、夹角为3,求x的值.答案：1.解:(1)因为f(x)=sin x+3cos x-3=2sin x+3-3,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x23,所以3x+3.当x+3=,即x=23时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间0,23上的最小值为f23=-3.2.解:(1)由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=35.A,B是锐角,cos A=1-sin2A=45,cos B=1-sin2B=32,由C=-(A+B),得cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-4532+3512=3-4310.(2)由(1
4、)知cos A=45,f2=sin2+2A=cos 2A=2cos2A-1=2452-1=725.3.解:(1)a+bsin(A+B)=a-csinA-sinB,a+bc=a-ca-b,a2-b2=ac-c2,cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.B(0,),B=3.(2)由b=3,sin A=33,asinA=bsinB,得a=2,由ab得AB,从而cos A=63,则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3+326,故ABC的面积为S=12absin C=3+322.4.解:(1)因为函数f(x)=sin x+acos x的图象经过点-3
5、,0,所以f-3=0.即sin-3+acos-3=0.即-32+a2=0.解得a=3.(2)由(1)得f(x)=sin x+3cos x.所以g(x)=f(x)2-2=(sin x+3cos x)2-2=sin2x+23sin xcos x+3cos2x-2=3sin 2x+cos 2x=232sin2x+12cos2x=2sin2xcos6+cos2xsin6=2sin2x+6.所以g(x)的最小正周期为22=.因为函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ),所以当2k-22x+62k+2(kZ)时,函数g(x)单调递增,即当k-3xk+6(kZ)时,函数g(x)单调递增.
6、所以函数g(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kZ).5.解:(1)由已知可得f(x)=a32cosx+12sinx=asinx+3,BC=T2=4,T=8,=28=4,由图象可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=23.(2)由(1)知f(x0)=23sin4x0+3=835,即sin4x0+3=45.x0-103,23,4x0+3-2,2,cos4x0+3=1-452=35,f(x0+1)=23sin4x0+4+3=23sin4x0+3+4=23sin4x0+3cos4+cos4x0+3sin4=234522+3522=765.6.解:(1)m=22,-22,n=(sin x,cos x),且mn,mn=22,-22(sin x,cos x)=22sin x-22cos x=sinx-4=0.又x0,2,x-4-4,4.x-4=0,即x=4.tan x=tan4=1.(2)由(1)和已知得cos3=mn|m|n|=sinx-4222+-222sin2x+cos2x=sinx-4=12,又x-4-4,4,x-4=6,即x=512.4
