1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并识记两条直线平行与垂直的条件,初步认知它们的应用【知识链接】1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角:直线l向上方向与x轴正向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)斜率:倾斜角的正切(90)叫直线l的斜率.2.在平面几何中两直线平行的条件(1)同位角相等,两直线平行(2)同旁内角互补,两直线平行(3)两直线无公共点,则两直线平行主题一:两直线平行的条件【自主认知】1.平面几何中两直线平行同位角相等,若已知两直线l1与l2平行,请根据两条直线平行的条件思考下列问题:(1)直线l1的倾斜角1与直线l2的倾斜角2有何关系?提示:
2、直线l1,l2满足l1l2,即两条直线向上方向与x轴正向夹角相等,故直线l1,l2的倾斜角相等.(2)直线l1的斜率与直线l2的斜率有何关系?提示:当两条直线的倾斜角都为90时,两直线的斜率都不存在;当两条直线的斜率都存在时,直线l1的倾斜角1与直线l2的倾斜角2相等,故tan1=tan2,即k1=k2.2.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,若k1=k2,则直线l1,l2一定平行吗?提示:不一定.若k1=k2,即tan1=tan2,又直线倾斜角的范围是0180,所以1=2,故直线l1,l2平行或重合.根据以上探究过程,试着写出两条不同直线平行的条件:1.如果两条直线的斜率存在,设这两条直
3、线的斜率分别为k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_;反之,若两条直线的斜率相等,则它们_,即l1l2_.2.如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角都为_,这两条直线互相_.相等平行k1=k290平行【合作探究】1.“l1l2k1=k2”成立的前提条件是什么?提示:前提条件有两个.两条直线的斜率都存在,l1与l2不重合.2.若l1l2则l1与l2的斜率一定相等吗?提示:不一定,若l1l2,则l1与l2的斜率有可能都不存在.故不能说l1与l2的斜率相等.【拓展延伸】用倾斜角来刻画平面上两条直线的三种关系:(1)平行:倾斜角相同,没有公共点.(2)相交:倾斜角不同,只有一个公共点.
4、(3)重合:倾斜角相同,有无数多个公共点.【过关小练】1.已知直线l1的斜率为0,且直线l1l2,则直线l2的倾斜角为()A.0B.135C.90D.180【解析】选A.由题意知,直线l1的倾斜角为0,又l1l2,故l2的倾斜角与l1的倾斜角相等.2.已知直线l1的倾斜角=30,直线l2过点A(3,)与原点,则直线l1与l2的位置关系是_.【解析】直线l1的斜率为k1=tan=tan30=.直线l2的斜率为k2=故k1=k2,所以直线l1l2或l1与l2重合.答案:平行或重合主题二:两直线垂直的条件【自主认知】如图,直线l1,l2满足l1l2,请根据图形,探究下面的问题:(1)斜率都存在的两条
5、直线l1,l2,若l1l2(如图),则其倾斜角有何关系?斜率有何关系?提示:由图可知倾斜角的关系为2=1+90,所以tan2=tan(1+90)=即k2=所以k1k2=-1.(2)当直线l1,l2中有一条直线与x轴垂直时,问题(1)中的斜率关系还成立吗?提示:不成立,当直线与x轴垂直时,其斜率不存在.此时一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0.根据以上探究过程,试着写出两条直线垂直的条件.1.当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,这两条直线_.2.当两条直线的斜率都存在时,设斜率分别为k1,k2.若两条直线互相垂直,则它们的斜率_;反之,若两条直线的斜率互为负倒数,则它们_.互相
6、垂直互为负倒数互相垂直【合作探究】1.l1l2k1k2=-1成立的前提条件是什么?提示:成立的前提条件有两个.两条直线的斜率均存在.k10且k20.2.当k1k2=-1时,l1l2成立吗?反之是否成立?提示:成立.由k1k2=-1,可知直线l1,l2的倾斜角1,2满足2=1+90,故直线l1l2,反之不一定成立.当l1l2时,可能其中一条斜率为0,另一条斜率不存在,故k1k2=-1不一定成立.【过关小练】1.如果直线l1的斜率为a,l1l2,则直线l2的斜率为()【解析】选D.当a0时,因为l1l2,所以k1k2=-1,即k2=-,当a=0时,则l2的斜率不存在.2.直线l1过点A(0,3),
7、B(4,-1),直线l2的倾斜角为45,则直线l1与l2的位置关系是_.【解析】因为直线l1过点A(0,3),B(4,-1),则直线l1的斜率k1=-1,直线l2的斜率k2=tan 45=1,因为k1k2=-1,所以l1l2.答案:l1l2【归纳总结】1.不重合直线l1,l2平行的等价条件等价条件:l1l22.对两条直线垂直的条件的说明(1)直线的斜率存在时,l1l2则k2=-,即k1k2=-1.(2)k1,k2中一个不存在,一个为0l1l2.(3)解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况.类型一:直线的平行【典例1】(1)若过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3)
8、,D(0,5)的直线平行,则m=_.(2)根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3);l1的倾斜角为60,l2经过点M(1,),N(-2,-2 );l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).【解题指南】(1)根据题意可知两直线的斜率相等,从而列出m的方程然后解出m的值即可.(2)斜率存在的直线求出斜率,利用l1l2k1=k2进行判断(注意两直线重合的情况).两直线斜率都不存在的,可通过观察并结合图形得出结论.【解
9、析】(1)因为所以解得m=-2.答案:-2(2)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,又故l1l2.由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,kFG=1,故直线l1与直线l2重合.由题意知,k1=tan60=,所以直线l1与直线l2平行或重合.由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1l2.【规律总结】两条直线平行的判定技巧(1)若l1与l2斜率存在,则l1l2k1=k2(l1,l2不重合).(2)若l1与l2不重合,则l1l2k1=k2或斜率都不存在.【巩固训练】已知直线l1与直线l2满足下列条件:(1)l1经过点A(1,3),B(3,2),l2经
10、过点C(-1,1),D(-3,5).(2)l1的倾斜角为60,l2经过点M(,0),N(2 ,3).(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).其中l1l2的序号是_.【解析】(1)所以所以直线l1与l2不平行.(2)所以l1l2或l1与l2重合.(3)l1斜率不存在,且直线l1与y轴不重合,而l2的斜率也不存在,且恰好是y轴,所以l1l2.答案:(3)【补偿训练】已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2),D(-2,a+2),若l1l2,求a的值.【解析】因为l1l2,l2斜率存在,所以l1斜率存在.直线l1的斜率因为l1l2,所以又直线l2的斜
11、率,所以-=-1,即a=3.类型二:直线的垂直【典例2】(1)如果直线l1,l2的斜率分别是一元二次方程x2-4x-1=0的两根,那么直线l1,l2的位置关系是()A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上均不正确(2)已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是_.【解题指南】(1)由根与系数的关系求出k1,k2的值,进而确定l1与l2的位置关系;(2)设出点C(x,0),根据ACBC,得出关于x的方程,从而求出点C的坐标.【解析】(1)选B.由题意知k1k2=-1,所以l1l2.(2)以AB为直径的圆与x轴有交点C,则ACBC,设C点坐标为(x,0
12、),则所以整理得x2-3x+2=0,解得x1=1或x2=2,所以C点坐标为(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)【延伸探究】1.(交换条件)把题(2)中的条件“与x轴有交点C”改为“与y轴有交点C”,求交点C的坐标.【解析】以AB为直径的圆与y轴有交点为C,则ACBC,设C点坐标为(0,y),则所以整理得y2-5y+2=0,解得所以C点坐标为2.(变换条件)若把题(2)中的条件“与x轴有交点C”改为“与坐标轴有交点C”,求点C的坐标.【解析】以AB为直径的圆与坐标轴有交点C,分两种情况:当点C在x轴上时,设C(x,0),可求C点坐标为(1,0)或(2,0).当点C在y轴上时,设(
13、0,y),可求C点坐标为【规律总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)用:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.【补偿训练】(1)l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直.(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,求a的值.【解析】(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l
14、1l2.(2)由题意知,l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.当l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1l2,满足题意.当l1的斜率k1存在时,a5,由斜率公式,得由l1l2,知k1k2=-1,即=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.类型三:平行与垂直的综合应用【典例3】已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定四边形ABCD的形状.【解题指南】画出图形,由图形判断四边形各边的关系,猜测四边形的形状,再由斜率之间的关系完成证明.【解析】A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图.由斜率公式可得kA
15、B=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以ABCD.由kADkBC,所以AD与BC不平行.又因为kABkAD=(-3)=-1,所以ABAD.故四边形ABCD为直角梯形.【规律总结】利用两条直线平行或垂直的结论处理图形问题的步骤及注意点(1)判定图形形状的步骤:描点:在坐标系中描出给定的点;猜测:根据描出的点,猜测图形的形状;求斜率:根据给定点的坐标求直线的斜率;结论:由斜率之间的关系,判断形状.(2)注意点:判断四边形的形状时,最后的结论要彻底、具体,必要时要判断对角线的关系.如:结果是正方形时,不要答成矩形.【巩固训练】已知四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针方向排列)为平行四边形,且顶点
16、A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解析】设顶点D的坐标为(x,y),由题意可知,kAB=-1,kBC=1,即ABBC,从而ADCD,ADBC,所以kADkCD=-1,且kAD=kBC,所以解得x=2,y=3,即第四个顶点D的坐标为(2,3).【补偿训练】已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列),求D点的坐标.【解析】设D点坐标为(x,y),由kAB=3,kBC=0,kABkBC=0-1,即AB与BC不垂直,故AB与BC都不可作为直角梯形的垂直于底的腰.(1)若CD是直角梯形的垂直于底的腰,则BCCD,ADCD.因为kBC=0,所以CD的斜率不存在,从而有x=3,又因为kAD=kBC,所以=0,即y=3,此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3).(2)若AD是直角梯形的垂直于底的腰,则ADAB,ADCD.因为又ADAB,所以3=-1,又ABCD,=3.由可得此时AD与BC不平行.综上可知点D的坐标为(3,3)或
