1、第1讲概率做小题激活思维1已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4B0.6C0.8D1B记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个元素记“恰有1件次品”为事件A，则A(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个元素故其概率为P(A)0.6.2在区间0,2上任取一个数x，则使
2、得2sin x1的概率为()A. B. C. D.C因为2sin x1，x0,2，所以x，所以所求概率P.3从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(AB)_.(结果用最简分数表示)因为P(A)，P(B)，且A与B是互斥事件所以P(AB)P(A)P(B).4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_03因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.
3、3.5某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60,70)和80,90)的样本学生中随机抽取2人，则在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60,70)的概率为_由折线图可知，体育成绩在60,70)的学生有2人，成绩在80,90)的学生有3人设“至少有1人体育成绩在60,70)”为事件M，记体育成绩在60,70)的数据为A1
4、，A2，体育成绩在80,90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事件M的概率P(M).扣要点查缺补漏1随机事件的概率(1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件(2)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)如T3.若事件A，B对立，
5、则P(A)1P(B)如T4.2求古典概型问题的两种方法 (1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解如T3.(2)用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解如T4.3几何概型几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围，在直线上选长度作为测度；在平面区域内选面积作为测度；在空间区域中则选体积作为测度如T2.古典概型(5年7考)高考解读试题以考生生活、学习中的真实情境为素材，考查古典概型及其概率计算，体现了数学的应用性.1(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指
6、标的概率为()A. B. C. D.切入点：从5只兔子中随机取出3只关键点：正确列出测量的所有取法B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1
7、)，(a2，a3，b2)，共6种可能故恰有2只测量过该指标的概率为.故选B.2(2018全国卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5 C0.4 D0.3切入点：从2名男同学和3名女同学中任选2人；2人都是女同学关键点：正确列出从5人中选出2人都是女同学的所有基本事件D将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共1
8、0种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)0.3.故选D.3(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.切入点：密码为两位数；第一位从M，I，N中选；第二位从1,2,3,4,5中选关键点：正确列出所有密码的情况C(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，事件总
9、数有15种正确的开机密码只有1种，P.求古典概型概率的2个关键点(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m.(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)求事件A发生的概率.1(古典概型与平面向量交汇)已知向量a(x，y)，b(1，2)，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足ab0的概率是()A.B.C.D.D设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6636个ab0，即x2y0，满足x2y0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6
10、,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P.2(古典概型与函数交汇)已知a2,0,1,2,3，b3,5，则函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是()A. B. C. D.C函数f(x)(a22)exb为减函数，则a220，又a2,0,1,2,3，故只有a0，a1满足题意，又b3,5，所以函数f(x)(a22)exb为减函数的概率是.故选C.3(古典概型与不等式、集合交汇)已知集合Ax|x22x30，Bx|(x2)(x3)0，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“ab(AB)”的概率为()A. B. C. D.D由已知得A
11、x|3x1，Bx|2x3，因为a，bZ，且aA，bB，所以a2，1,0，b1,0,1,2，ab共有12个结果，即12个基本事件：1，2，3，4,0，1，2，3,1,0，1，2，又AB(3,3)，设事件E为“ab(AB)”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E).几何概型(5年2考)高考解读试题选取考生熟悉的太极图、现实生活中交叉路口红灯等待时间的情境命制试题，使考生对问题的背景有真实、具体、形象的感受，考查考生或数学建模、数学运算的核心素养.1(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随
12、机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.切入点：黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称关键点：正确求出黑色部分的面积B不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知所求概率P.故选B.2(2016全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.切入点：红灯持续时间为40秒；至少需要等待15秒才出现绿灯关键点：正确判断概率模型及恰好等待15秒出现
13、绿灯的条件B如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯AB长度为401525，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.几何概型的适用条件及应用关键(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.1(与长度有关的几何概型)在1,2内任取一个数a，则点(1，a)位于x轴下方的概率为()A. B. C. D.C在1,2内任取一个数a，则点(1，a)位于x轴下方的概率为，故选C.2
14、(与面积有关的几何概型)如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH(图中阴影部分)，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是()A. B. C. D.C设第1个正方形ABCD的边长为2，则第2个正方形的边长为，第3个正方形的边长为1，第4个正方形EFGH的边长为，所以所求概率P.故选C.3(与体积有关的几何概型)已知在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为_当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面A
15、BCD的距离为h，则有22h，解得h.如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.因为PA底面ABCD，且PA2，所以，又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率为P33.4(借助数学文化考查几何概型)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出，具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图现在上述图3中随机选取一个点，则此点取自阴影
16、部分的概率为_由题意可知每次挖去等边三角形的，设题图1中三角形的面积为1，则题图2中阴影部分的面积为1，题图3中阴影部分的面积为2，故在题图3中随机选取一点，此点来自阴影部分的概率为.互斥事件与对立事件(5年4考)高考解读以考生生活、学习中的真实情境为素材，考查古典概型及互斥事件与独立事件概率的求法，考查考生的逻辑推理及数学运算核心素养.1(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4C0.6D0.7切入点：只用现金支付的概率；既用现金支付也用非现金支付的概率关键点：搞清楚“不用现金支付的概
17、率”与题目中已知概率的关系B设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4.故选B.2(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B. C. D.切入点：从4种颜色的花中任选2种；红色和紫色的花不在同一花坛关键点：正确求出所有种花的方法总数C从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白
18、紫红黄，共6种，其中红色和紫色的花在同一花坛的种数有：红紫白黄、黄白红紫，共2种，故所求概率为P1，故选C.互斥事件、对立事件概率的求法(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算间接法先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解，即运用正难则反的数学思想特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便1(互斥事件的概率)从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数
19、不超过1的概率是 ()A0.8B0.6C0.4D0.2A设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1，”事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件4名男生分别记为1,2,3,4；2名女生分别记为a，b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为1,2,3，1,2,4，1,2，a，1,2，b，1,3,4，1,3，a，1,3，b，1,4，a，1,4，b，1，a，b，2,3,4)，2,3，a，2,3，b，2,4，a，2,4，b，2，a，b，3,4，a，3,4，b)，3，a，b，4，a，b事件M所含的基本事件分别为1,2，a，1,2，b，1,
20、3，a，1,3，b，1,4，a，1,4，b，2,3，a)，2,3，b，2,4，a，2,4，b，3,4，a，3,4，b，共12个，所以P(M)；事件N所含的基本事件分别为1,2,3，1,2,4，1,3,4，2,3,4，共4个，所以P(N).所以事件Q的概率为P(Q)P(M)P(N)0.8，故选A.2(对立事件的概率)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.D记事件A为甲或乙被录用从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)，(乙，丙，
21、丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，A的对立事件的概率为P()，P(A)1P().故选D.3(对立事件的概率)如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为_设事件M为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有8种情况其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P()，所以P(M)1P()1.概率与统计的综合问题(5年3考)高考解读试题以现实生活中常见
22、问题为背景，精心编制与设问，不仅考查了考生运用所学的统计与概率知识和方法解决问题的能力，而且使考生领会统计与概率思想方法在现实生活、工农业生产等领域的应用，形成自觉应用数学知识指导社会实践的意识，提高解决问题的能力.角度一：统计图表与概率的综合问题1(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的
23、订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率切入点：最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；最高气温低于20，需求量为200瓶关键点：按进货量450瓶是否全部售出为界进行分类讨论解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶
24、，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值为900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.角度二：统计案例与概率的综合问题2(2017全国卷)海水养殖场
25、进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，K2.切入点：频率分布直方图关键点：从频率分布直方图中正确提取数据信息正确计算K2的值解(1)旧养殖法的箱产量低于50 k
26、g的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量19时，y3 800500(x19)500x5 700，所以y与x的函数解析式为y(xN)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800704 30
27、0204 80010)4 000元若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000904 50010)4 050元.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件解答概率与统计综合问题的2点注意(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.1(概率与茎叶图、频率分布直方图的综合)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成
28、绩均分布在50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；(2)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生
29、是A等级的概率解(1)由题意可知，样本容量n50，x0.004，y0.018.因为成绩是合格等级的人数为(10.1)5045，所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是.(2)由茎叶图知，A等级学生共有3名，由频率分布直方图知D等级学生共有0.1505名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3
30、，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件记“至少有1名学生是A等级”为事件E，则其对立事件的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种所以P(E)1P()1.2(概率与统计案例的综合)国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计10
31、0100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.(1)求22列联表中p，q，x，y的值；(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率附：K2，nabcd.P(K2k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解(1)由，得p60，所以q40，x100，y100.(2)由K2，得K2810.828，所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例32抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.
