1、第2课时习题课对数函数及其性质类型一 比较大小【典例1】比较下列各组中两个值的大小.(1)log31.99,log32.(2)log30.2,log40.2.(3)log23,log0.32.(4)loga,loga3.14(a0,且a1).【解题指南】利用对数的单调性,换底公式及不等式的传递性来比较.【解析】(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.992,则f(1.99)f(2),所以log31.99log0.23log0.24,所以,即log30.2log21=0,log0.32log0.32.(4)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函
2、数,则logaloga3.14;当0a1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则loga1时,logaloga3.14.当0a1时,loga0.80.7,所以1log0.90.8log0.90.7.又因为log0.80.9log0.80.8=1,所以log0.80.9log0.90.8log0.90.7.(2)由log31log32log33,得0log32log22=1,log4 log41=0,所以log4 log32log22=1=log55log54,所以log23log54.类型二 简单对数不等式【典例2】(2017焦作高一检测)已知函数f(x)的图象与g(x)=log5x的图象
3、关于x轴对称,解不等式f(2x)f(x-1).【解题指南】由条件先求出函数f(x)的解析式,然后借助f(x)的单调性即可把原不等式转化为一元一次不等式组来求解.【解析】因为函数f(x)的图象与g(x)=log5x的图象关于x轴对称,所以f(x)=故f(2x)1，所以原不等式的解集为(1,+).【延伸探究】1.本例条件不变,试解不等式f(2x-1)f(x+3).【解析】由题意得f(x)=因此f(2x-1)f(x+3)所以原不等式的解集为2.若本例中的条件“g(x)=log5x”换为“g(x)=”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】由题意得f(x)=log5x.故f(2x)f(x-1)log5(
4、2x)1时,logaf(x)b=logaabf(x)ab;logaf(x)logag(x)(2)当0ab=logaablogaf(x)logag(x)提醒:解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.【补偿训练】解不等式:2loga(x-4)loga(x-2).【解析】原不等式可化为loga(x-4)2loga(x-2).当a1时,原不等式等价于解得x6.当0a1时,原不等式等价于解得4x1时,不等式的解集为(6,+);当0a0且a1).(1)求f(x)的定义域.(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.【解题指南】(1)求函数的定义域即为函数解析式
5、有意义时自变量x的取值集合.(2)判断f(x)的奇偶性需分两步:第一步是看定义域是否关于原点对称;第二步判断f(-x)与f(x)的关系.(3)利用对数函数的单调性将对数不等式转化为一元一次不等式来解.【解析】(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以解得-1x1时,f(x)在定义域(-1,1)上是增加的,所以由f(x)0,得loga(x+1)-loga(1-x)0,即loga(x+1)loga(1-x),即x+11-x,又-1x1,解得0 x0;g(f(x)=(log2x)2+log2x中需有x0.(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先
6、要注意函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.【巩固训练】已知函数f(x)=ln是奇函数.(1)求m的值.(2)判定f(x)在(1,+)上的单调性,并加以证明.【解析】(1)f(-x)=-f(x)=因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即所以,解得m=1.当m=1时,=-1,函数无意义,所以m=-1.(2)f(x)在(1,+)上是减函数,证明如下:由(1)知f(x)=任取x1,x2满足1x1x2,则由1x10,x1-10,x2-10,所以0,所以0,即【补偿训练】已知x满足不等式0,求函数f(x)=的最大值和最小值.【解析】f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=由 0,可解得-3 -,即 x8,所以 log2x3,所以当log2x=,即x=2 时,f(x)有最小值-.当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2.所以f(x)min=-,f(x)max=2.
