1、江苏省徐州市2016-2017学年高二下期中考试理科数学试题第卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.复数 2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时，结论的否定是 .3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是 (用数字作答).4.由:正方形的对角线相等;矩形的对角线相等;正方形是矩形，写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为 (写序号）5.设：为纯虚数,且，则 .6.观察下列各式:9-1=8,16-4=12，25-9=16，36-16=20，这些等式反映了自然数间的某种规律，设表示自然数，用
2、关于的等式表示为 .7.若，则的值为 8.现有一个关于平面图形的命题:如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .9.用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为 10.用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是 （用含有的式子作答).11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节,则不同的排法种数为 .(用数字作答）12.已知复数满足等式（是虚数单
3、位）.则的最小值是 .13.如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则 .14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理:即两个等髙的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线与轴，直线及渐近线所围成的阴影部分(如图）绕轴旋转一周所得的几何体的体积为 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.设复数（，是虚数
4、单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数；(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.16.阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，由得，令,有，代入得.(1)利用上述结论，试求的值；(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.17.已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为.(1)求的值;(2)求展开式中的常数项.18.有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.19.(1)找出一个等比数列，使
5、得1，4为其中的三项，并指出分别是的第几项;(2)证明: 为无理数；(3)证明:1,4不可能为同一等差数列中的三项.20.已知函数，的图象恒过定点，且点既在的图象上，又在的导函数的图象上.求,的值；(2)设,当且时，判断的符号，并说明理由；(3)求证： (且）.试卷答案一、填空题1. 2.三个角全大于. 3.25. 4. 5. 6. 7.1 8. 9.8. 10. 11.312 12. 13.-1. 14.二、解答题15.解设，由得：.又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即. 由联立方程组,解得,或，.由,可得,为纯虚数， 解得. 16.解（1）；（2）因为，由得，令,有，代
6、入得.17.解：展开式的通项为，展开式中第3项与第5项的系数分别为,据题意得，解得；(2)展开式的通项为，令得，展开式中的常数项为.18.解第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.共有(种)选法. “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法有(种). (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种). 19.解（1)取首项为1，公比为，则，
7、 则，. (2)证明：假设是有理数，则存在互质整数，使得，则,所以为偶数，设,为整数，则，所以也为偶数，则，有公约数2,这与，互质相矛盾，所以假设不成立，所以是有理数. (3)证明：假设1，4是同一等差数列中的三项，且分别为第项且互不相等，设公差为，显然，则，,消去得，, 由都为整数，所以为有理数，由（2)得是无理数，所以等式不可能成立，所以假设不成立，即1，,4不可能为同一等差数列中的三项. 20.解因为，所以恒过，所以，所以,因为，,所以，即，；(2)答：,即证且时，异号；因为,所以当时，因为,所以在单调递减，又,所以，所以，当时，因为，所以,所以,综上得证. (3)由（2)知：当时，,即，令，所以， 所以，以上个式子相加，即得，所以.另法：（3）数学归纳法证明如下：时，左边,右边,左边-右边左边右边，所以，当时，不等式成立.假设当时，不等式成立，即成立.那么，当时，左边，而右边，要证：，即证：，即证：,即证，由（2)知：当时，且，所以，即，成立所以，当时，不等式成立.由知，（且）不等式成立.
