1、2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则 A.B.C.D.2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，且
2、，则 A.B.C.1D.24.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正确的个数为 A.B.C.D.5.当时，函数的图象大致是 A. B. C. D. 6.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是 A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则7.设等差数列的前项和为，若，则
3、 A.21B.22C.11D.128.已知角的终边与单位圆交于点，则等于 A.B.C.D.9从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A48B72C90D9610.已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为 A.B.C.D.11.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为 A.B.C.D.112.若函数，在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则实数的取值范围是 A.B.C.D.第II卷 非选择题（90分）二
4、、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则_.14.已知，分别为三个内角，的对边，若，的面积为，则的值等于_.15.学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ 两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_16.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则_三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17
5、21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）等比数列中，()求的通项公式；()记为的前项和若，求18.（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：（I）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与
6、“性别”有关；（II）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望. 附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，19.（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且（I）求证：平面；（II）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值20.（12分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.（I）求椭圆的方程；（II）若圆上存在两点，椭圆
7、上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.21.（12分）已知函数，（I）当时，讨论函数的单调性；若函数有两个极值点，且，求证（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（I）设t为参数，若，求直线的参数方程；（II）已知直线与曲线交于设，且，求实数的值.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数. （I）求的最小值；（II）若， ， 均为正实数，且满足，求
8、证： .2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试理科数学答案1.B2.B3.A4.C5.B6.B7.A8.B9.D10.A11.C12.D13.14.15.B16.17解：()设数列的公比为，或，()由()知或，或(舍去)，解得解：（1）由题意得下表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且，所以的分布列为01219.（1）证明：四边形是菱形， 平面平面，又是的中点，又平面（2）直线与平面所成的角等于直线与平面
9、所成的角平面，直线与平面所成的角为，即因为，则在等腰直角三角形中，所以在中，由得，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为，则，可得，取平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值的大小为20.（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.又，解得.椭圆的方程为（2）由（1）可知圆的方程为，（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，此时（ii）当直线的斜率为零时，.（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，联立，得，设的横坐标分别为，则.所以，（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）由可得直
10、线的方程为，联立椭圆的方程消去，得设的横坐标为，则.综上，由（i）（ii）（）得的取值范围是.21.解：，令，令则，当，即时，令则；令则此时函数在上单调递减；在上单调递增当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增，得证22.（1）直线的极坐标方程为即，因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）由，得，由，代入，得 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）则且，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，由题设得.,则有，得或.因为，所以23.（1）当时， ；当时， ；当时， .综上， 的最小值.（2）证明： ， ， 均为正实数，且满足，因为， .（当且仅当时，取等号），所以，即.
