1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例【知识导学】考点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点二向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的
2、数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.技巧：(1)用向量法求长度的策略根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解.建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.【考题透析】透析题组一: 用向量证明线段垂直问题1（2021浙江浙
3、江高一期末）在中，若，则的形状为（ ）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形2（2021四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）A等腰非直角三角形B直角非等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形透析题组二：用向量解决夹角问题3（2021广东佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在中，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（ ）ABCD4（2021福建三明高一期末）中，若，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）ABCD透析题组三：用向量解决线段的长度问题5（2020湖南师大附中高一期末）已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为AB
4、CD6（2018广东江门高一）如图，设为内的两点，且，则的面积与的面积之比为（ ）ABCD透析题组四：向量与几何最值问题7（2022北京西城高一期末）如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）ABCD8（2021江西九江一中高一期中）在直角梯形中，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，且，则的最大值为（ ）ABCD透析题组五：向量在物理中的应用9（2021全国高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）A越小越
5、费力，越大越省力B的范围为C当时，D当时，10（2021全国高一课时练习）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）ABCD透析题型六：平面向量应用的综合问题11（2020安徽安庆市第二中学高一阶段练习）在中，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.12（2020全国高三专题练习）在中，底边上的中线，若动点满足.（1）求的最大值；（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.13（2021江苏沭阳高一期中）如图，扇形所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，为弧的
6、中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，.（1）若，用，表示，；（2）求的取值范围.【考点同练】一、单选题14（2022青海海东高一期末）在矩形ABCD中，且，则（ ）AB5CD415（2021全国高一课时练习）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）ABCD16（2021福建三明高一期中）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力大小都为，若，则的值为（ ）A30B60C90D12017（202
7、1山东潍坊高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）AB当时，C当角越大时，用力越省D当时，18（2021全国高一课时练习）平面上有三点A，B，C，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）AA，B，C三点必在同一条直线上BABC必为等腰三角形，且B为顶角CABC必为直角三角形，且B=90DABC必为等腰直角三角形19（2021江西九江一中高一阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲
8、染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（）ABCD二、填空题20（2021全国高一课时练习）已知向量，满足，则的最大值是_.21（2021全国高一课时练习）一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_.22（2021河南商丘高一阶段练习）在中，内部一点满足，则_23（2021四川凉山高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为，为的外接圆，给出下列四个结论：若，则
9、；若P在上，则；若P在上，则的最大值为2；若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题24（2022辽宁锦州高一期末）如图，直角梯形ABCD，(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值25（2022辽宁高一期末）如图，在中，AD与BC相交于点M，设，.(1)试用，表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，求的最小值.8原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案精讲】1B【解析】【分析】取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变
10、形，得，从而可判断三角形形状【详解】取中点，连接，则，因为，所以，所以，所以，即，所以的是等腰三角形故选：B2C【解析】【分析】由推出，由推出，则可得答案.【详解】由，得，得，得，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以为等腰直角三角形.故选：C3C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出坐标表示，利用二次函数求出最小值时的坐标，最后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：则,设，因为动点位于直线上，直线的方程为：，所以，当时，取得最小值，此时，所以，又因为，所以，故选：C.4A【解析】【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、，然后根据、三点共线以及、三点共线得出
11、，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，所以，设，因为、三点共线，所以，因为，、三点共线，所以，联立，解得，因为，所以，因为，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.5C【解析】【详解】试题分析：由变形可得,即,所以,由变形可得,故,所以,同理可得:,所以,选D.考点：向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为及,不厌
12、其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.6B【解析】【详解】试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难连，延长交于，设，又不共线，所以又故选B考点：平面向量的初等运算，平面向量的基本定理，等积法【思路点晴】本题从面积之比来设问，需要用等积法进行等价转换，注意到，这是本题的难点之一，这样把面积之比转化为线段之比由于点、共线，从而考虑平面向量的基本定理的运用
13、，便是水到渠成，自然而然7D【解析】【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.8D【解析】【分析】如图建立直角坐标系，设，则由已知条件可求出点的坐标，再由，求出的值，则可得点的坐标，则可表示，从而可得，进而利用二次函数的性质可求得答案【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，因为直角梯形中，所以，则，所以，设，则，因为，所以，解得，所以，则，因为，所以，得，则，设，则，所以，当时，取得最大值，故选：D9D【解析】【分析】根据为定值，求出，再对选项
14、进行分析、判断即可.【详解】解：对A，为定值，解得：；由题意知：时，单调递减，单调递增，即越大越费力，越小越省力，故A错误；对B，当时，不满足题意，故B错误；对C，当时，故C错误；对D，当时，故D正确.故选：D.10B【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.【详解】由题意知有即所以，故选：B【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.11（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，根据题意，求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，则
15、，因此，所以，（2）因为，所以， 同理可得，所以，即， 同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.12（1）8；（2）-5.【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理可知三点共线且在线段上，设，则，可将整理为，根据二次函数图象可求得最值；（2）以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，根据可求得坐标，根据数量积的坐标运算可求得结果.【详解】（1）且三点共线，又在线段上为的中点，设，则，当时，取最大值（2）为等腰三角形，且为底边的中线以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系
16、由（1）可得，又，则【点睛】本题考查平面向量数量积运算的相关计算，涉及到平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算、二次函数最值的求解问题.13（1），；（2）【解析】【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可,表示,.（2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围.【详解】（1）由题知,均为等边三角形,所以四边形为菱形.所以,所以,.（2）设,则,.,当,上式最小值为；当或1时,上式最大值为2.的取值范围.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,平面向量数量积的运算,由二次函数性质求最值,属于中档题.14A【解析】【分
17、析】画出图形，根据向量的加法、减法及数量积运算求出答案即可.【详解】如图，因为ABAD，所以，即又因为，所以，故故选：A15D【解析】【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，要使得游船正好到达处，则，即，又因为，所以，故选：D.16B【解析】【分析】设两人用力分别为，根据力的关系建立等式，平方处理即可得解.【详解】两人用力大小都为，设两人用力分别为，所以,又，所以，所以.故选：B17B【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.【详解】解：根据题意可得：，则，当时
18、，故A错误；当时，及，故B正确；，因为在上递减，又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；当时，即，解得，又因，所以，故D错误.故选：B.18C【解析】【分析】根据的长度相等，由|=|得到ABCD是矩形判断.【详解】如图：因为的长度相等，所以|=|，即|=|，所以ABCD是矩形，故ABC是直角三角形，且B=90.故选：C19B【解析】【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.【详解】如图，取AF的中点Q，根据题意，AOF是边长为2的正三角形，易得，又.根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，当点P位于
19、正六边形的顶点时有最大值为2，此时，所以，.故选：B.20【解析】【分析】设，根据已知条件可得，整理可得，求得的范围即可求解.【详解】设，则，整理得：，所以，则，解得：，所以，故答案为：.21#【解析】【分析】由，可知，解之即可得解.【详解】设F与s的夹角为，由，得，解得：.又，.故答案为：（或）22【解析】【分析】延长交于点，延长交于点，根据，得到为的重心，然后作垂直于交的延长线于点求解.【详解】如图：延长交于点，延长交于点，由知，为的重心，于是为的中点，为的中点.作垂直于交的延长线于点，因为，所以在中，因为，所以故，所以所以.故答案为：23【解析】【分析】由正弦定理求得外接圆半径，由平方可
20、判断，由基本不等式可判断，若，则由题意可得点P的轨迹是以为邻边的菱形及其内部，即可i求得面积.【详解】设外接圆半径为，由正弦定理可得，则，因为，则，若，则，故正确；若P在上，则由得，即，即，可得，故正确；则，当且仅当时等号成立，则可解得，即的最大值为，故错误；若，则由题意可得点P的轨迹是以为邻边的菱形及其内部，则其面积为，故正确.故答案为：.24(1)(2)【解析】【分析】利用向量坐标或者向量的基本定理即可.(1)（法一）如下图所示，以A为原点，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，则，即所以，（法二）因为M为BC中点，所以又因为且，所以因为，不共线，根据平面向量基本定理可知，(2)（法一）如下图所示，则则因为，所以解得（舍）或，所以t值为.（法二）如下图所示，以A为原点，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系则，设，则，因为，则，又，与共线所以由解得或，若则（舍），若则25(1)(2)【解析】【分析】（1）利用三点共线求得.（2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值.(1)设，由于三点共线，所以.所以.(2)依题意，由于过点，而，所以，由（1）得，所以,由于三点共线，所以，当且仅当，时等号成立.28原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
