1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系热点命题分析学科核心素养本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题.本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用.授课提示：对应学生用书第159页知识点一直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr0 温馨提醒 与圆的切线有关的结论(1)与圆x2y2r2相切于
2、点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)与圆(xa)2(yb)2r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2. 1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)答案：C2直线xy20与圆(x1)2(y2)21相交于A，B两点，则弦|AB|()A.BC.D答案：D3(易错题)已知圆C：x2y29，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为_答案：x3或4x3y150知
3、识点二圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210 温馨提醒 1.两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得(D1D2)x(E1E2)yF1F20，方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程2过已知两圆交点的圆系方程过已知两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为
4、x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(不含圆C2)，其中为参数且1. 1圆x24xy20与圆x2y24x30的公切线共有()A1条B2条C3条D4条答案：D2若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.答案：1授课提示：对应学生用书第160页题型一直线与圆的位置关系自主探究1直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定答案：A2直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2)B(，3)C.D答案：D3圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A
5、1B2C3D4答案：C判断直线与圆的位置关系的两大策略(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法题型二直线与圆的位置关系的应用多维探究考法(一)切线问题例1(1)(多选题)过点A(3,1)且与圆(x2)2y21相切的直线方程可能为()Ay1Bx3Cx3Dy1(2)(2021八省联考模拟卷)已知抛物线y22px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x2)2y21的两条切线，则直线BC的方程为()Ax2y10B3x6y40C2x6y30Dx3y20解析(1)由题意知，点A在圆外，故过点
6、A的切线应有两条当所求直线斜率存在时，设直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0.因为直线与圆相切，所以d1，解得k0，所以切线方程为y1.当所求直线斜率不存在时，x3，也符合条件综上，所求切线方程为x3或y1.(2)因为A(2,2)在抛物线y22px上，故222p2，即p1，抛物线方程为y22x，过点A(2,2)与圆(x2)2y21相切的直线斜率显然存在，设其方程为y2k(x2)，即kxy22k0，则圆心(2,0)到切线的距离d1，解得k，如图，直线AB：y2(x2)，直线AC：y2(x2)联立得3x2x168 0，故xAxB，由xA2得xB，故yB，联立，得3x2(4 14)x168 0
7、，故xAxC，由xA2得xC，故yC，故yByC4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率为kBC，故直线BC的方程为y，即3x6y40.答案(1)AB(2)B圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k考法(二)弦长问题例2(1)(2020高考全国卷)已知圆x2y26x0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1B2C3D4(2)(2020高考天津卷)已知直线x
8、y80和圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为_解析(1)圆的方程可化为(x3)2y29，故圆心的坐标为C(3,0)，半径r3.如图，记点M(1,2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|2，弦的长度l222.(2)依题意得，圆心(0,0)到直线xy80的距离d4，因此r2d2225，又r0，所以r5.答案(1)B(2)5求直线与圆相交弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长
9、公式求解，其公式为|AB|x1x2|.题组突破1若a，b，c是ABC三个内角的对边，且csin C3asin A3bsin B，则直线l：axbyc0被圆O：x2y212所截得的弦长为()A4B2 C6D5答案：C2(2021哈尔滨模拟)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线xay10平行，则a_.答案：2题型三圆与圆的位置关系合作探究例已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解析(1)证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心为
10、C2(5,6)，半径r24，两圆的圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和C2相交(2)圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x3y230，两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22.1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法2两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解对点训练(多选题)(2021山东泰安期中)已知圆C1：x2y2r2，圆C2：(
11、xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有()Aa(x1x2)b(y1y2)0B2ax12by1a2b2Cx1x2aDy1y22b解析：由题意，圆C2的方程可化为x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax2bya2b20，即2ax2bya2b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax12by1a2b2,2ax22by2a2b2，两式相减可得2a(x1x2)2b(y1y2)0，即a(x1x2)b(y1y2)0，所以选项A、B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1x2
12、a，y1y2b，所以选项C正确，选项D不正确答案：ABC直线与圆位置关系中的核心素养数学运算直线与圆位置关系的综合应用例(2019高考全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解析(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M
13、的半径r2或r6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：(1)直接计算或证明，如本题第(2)问的证明；(2)先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；(3)先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解对点训练已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解析：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.
