1、新泰一中 2012级高二上学期冬季数学竞赛试题（文）2014.1一、选择题（每小题6分，共10小题）1设Z，集合A为偶数集，若命题：Z ，2A,则 （ ） AZ ，2A BZ ，2ACZ ，2ADZ ，2A2已知数列的前项和为，且+=2（N*），则下列数列中一定是等比数列的是 （ ）AB1C2D+2 3.若、，则是的 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件4.已知正实数数列中，则等于（ ）A16B8CD45.已知，则下列结论不正确的是( )Aa2b2 Bab|a+b|6. 已知正数x,y满足，则的最小值为( ) A1 B C D7. 中，若且，则的形状是( )
2、A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形8.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条9.已知ABP的顶点A、B分别为双曲线C：1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于()A.B.C. D.10.已知对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（每小题6分，共5小题）11. 已知，则的最小值是 .12.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_13.x、y是正数，x，a，b，y成等差，x，m，n，
3、y成等比，则的取值范围是 .14.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，则m的取值范围是 15.空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，A，B两点间的距离为266 m，这两测点均离地1 m，则测量时气球离地_m.三、解答题（每小题12分，共5小题）16.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)记(sinCsin(BA)，2)，(sin2A,1)，若与共线，求ABC的面积17.已知全集U=R，集合A=，B=|。（）求（UA）B；（）若
4、集合C=|，命题：A，命题：C，且命题是命题的充分条件，求实数的取值范围。18.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19已知公比为的等比数列是递减数列，且满足+=，=（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和为；（）若，证明：.20.已知曲线C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1)若曲线C是
5、焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线ykx4与曲线交于不同的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线DCBDD CCCAB4，15. 解析 如图所示，D为气球C在平面ABD上的正投影，设CDx，依题意知：CAD45，CBD30， 则ADx，BDx. 在ABD中，由余弦定理得:AB2AD2BD22ADBDcosADB，即2662x2(x)22x(x)cos1507x2，解得x，故测量时气球离地m.16.解答 (1)由余弦定理及已知条件得a2b2ab4，absinC即ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)
6、m与n共线，sinCsin(BA)2sin2A0，即sin(AB)sin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA.当cosA0时， A，B，a，b，SabsinC.当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a.联立方程解得a，b，SabsinC.综上，ABC的面积为S.17解：A=|2，2分B=|=|1|0=|113分UA=|2或26分（）命题是命题的充分条件，AC，7分 C=|8分，10分，或实数的取值范围是（，+）12分18.为1000万元. -12分19.解：由=，及等比数列性质得=，即=，1分由+=得+=由得所以，即3210+3=0解得=3，或=3分
7、因为是递减数列，故=3舍去，=，由=，得=1故数列的通项公式为=（N*）4分 （II）由（I）知=，所以=1+ =+ 5分 得：=1+=1+2（+）=1+2=2所以=38分（）因为=+=，9分所以=+=2()+（）+（）=2（）11分因为1，= ，所以.12分20.(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)解得m5，所以m的取值范围是.(4分)(2)当m4时，曲线C的方程为x22y28，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，2)(5分)由得(12k2)x216kx240. (6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以(16k)24(12k2)240，即k2.(7分)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.(8分)直线BM的方程为y2x，点G的坐标为.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN，kAG， (11分)所以kANkAGkk0.即kANkAG. (13分)故A，G，N三点共线 (14分)
