1、赤峰学院附属中学2018级高三文科数学周测（10月31日）一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数D为纯虚数3已知，则，的大小关系为（ ）ABCD4干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元年，则该年所对应的干支为（ ）六十干支表（部分）戊辰己巳庚午辛未壬申己未庚申辛酉壬戌癸亥 A戊辰B辛未C已巳D庚申5已知定义在上的偶函数，当时，
2、其解析式为，则在点处的切线方程为（ ）ABCD6若函数，则不等式的解集为（ ）ABCD7在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD8若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）ABCD9中，角所对的边分别为，已知向量，且共线，则的形状是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形10已知函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断正确的是（）A函数在上单调递增B函数的图像关于直线对称C当时，函数的最小值为D要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位1
3、1已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD12已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）ABCD1二、填空题13向量，且、的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_.14法国数学家拉格朗日于1778年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值则在区间上的拉格朗日中值_15已知四棱锥，底面为正方形，平面，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为_16已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标
4、原点，若在第一象限，那么_三、解答题17在中，角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求的面积.18某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到类工人生产能力的茎叶图（图1），类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.（1）在样本中求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若规定生产能力在内为能力优秀，现以
5、样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查，请估计这名工人中的各类人数，完成下面的列联表.若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则的最小值为多少？参考数据：参考公式：，其中.19在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为原点.求证：；设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.21已知，是函数的导函数，（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求的解析式；（2）
6、设，若对任意的，且，都有 ，求的取值范围【选考题】（请考生在第22、23题中任选一题作答）22在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值23已知函数，（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）已知，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.试卷第8页，总8页参考答案1A【解析】求解二次不等式可得：，求解对数不等式可得：，结合交集的定义有：.本题选择A选项.2D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,
7、即可求得结果.【详解】,的虚部为,.故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.3D【解析】【分析】由对数函数的性质求出每个数的范围，即可判断大小.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.4A【解析】【分析】输出，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入，第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，不成立；由上可知，每执行一次循环后，的值对应地在上一次循环后的值中减去，则输出的的值为除后的余数，则输出的的值为，因此，公元年对应的干支为戊辰.故选：A.【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考
8、查计算能力，属于中等题.5A【解析】【分析】根据偶函数性质及分段函数解析式求法，先求得时的解析式，即可由导数几何意义求得切线方程.【详解】定义在上的偶函数，所以当时，其解析式为，则当时，则，而，所以当时，则，所以切点坐标为，由，可得，所以切线斜率为则切线方程为，化简可得，故选：A.【点睛】本题考查了由奇偶性求函数解析式，由导函数求切线方程，属于基础题.6A【解析】【分析】可判断为上的奇函数，且单调递增，则不等式可化为，即，讨论的范围去绝对值即可求解.【详解】因为函数的定义域为，且满足，所以为上的奇函数，则可化为， 因为恒成立，所以为上的增函数.所以原不等式等价于不等式.当时，可化为，所以；当时
9、，可化为，所以.综上，原不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.7A【解析】【分析】根据题意，用表示出与，求出的值即可.【详解】解：根据题意，设，则，又，故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.8D【解析】【分析】根据已知条件先得到的值即得到了的值，再利用抛物线的定义由的值可得到点的坐标为，要求的最小值即要在准线上找一点到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值.【详解】随机变量，且，1和关于对称，即，设为第一象限中的点，抛物线方程为：， 解得即，关于准线
10、的对称点为，根据对称性可得：当且仅当三点共线时等号成立.如图故选：D【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题.9D【解析】【分析】由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解【详解】共线，即，整理得，所以或，或或（舍去）三角形为直角三角形或等腰三角形故选：D.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质解题时不能随便约分漏解10D【解析】【分析】根据题意求出函数f（x
11、）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可【详解】函数f（x）Asin（x+）中，A，T，2，又f（x）的图象关于点（，0）对称，x+2（）+k，解得k，kZ，；f（x）sin（2x）；对于A，x，时，2x，f（x）是单调递减函数，错误对于B，x时，f（）sin（2）0，f（x）的图象不关于x对称，错误；对于C，x，时，2x，sin（2x），1，f（x）的最小值为，C错误；对于D，ycos2x向右平移个单位，得ycos2（x）cos（2x）的图象，且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），正确；故选D【点睛】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图象和性
12、质的应用问题，是中档题确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x.11C【解析】【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出的范围【详
13、解】，所以函数的图象与直线有两个交点，作出函数的图象，如下图，由得，设直线与图象切点为，则，所以由得，与在原点相切时，由得，与在原点相切时，所以直线，与曲线相切，由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解12B【解析】【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切
14、线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.【详解】根据题意,设,则由代入可得即点的轨迹方程为又因为,变形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:所以的最小值即为到直线的距离最小值根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值设切线的方程为,化简可得由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得 即 所以切线方程为或所以当变化时, 到直线的最大值为 即的最大值为故选:B【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.13【解析】【分析】利用模长以及数量
15、积公式求出，结合题意得到，化简即可求出实数k的取值范围.【详解】, 由于、的夹角为锐角则，解得：或 故答案为【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.14【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.【详解】，则，所以，由拉格朗日中值的定义可知，即，所以故答案为: .【点睛】本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题15【解析】【分析】计算出四棱锥的表面积，利用等体积法计算出球的半径.【详解】依题意底面为正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，设内切球的半径为， 四棱锥的表面积，则有，解得故答案为：【点睛
16、】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.162【解析】【分析】如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因为,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17(1)见解析;(2) .【解析】【分析】（1）将条件变形可得，利用余弦定理可得所证的结论（2）当时，由（1）中的结论
17、可得；再根据正弦定理可得，又，根据面积公式可得结果【详解】（1），由余弦定理可得，.（2），由正弦定理得，又，.18（1）132.6；（2）360【解析】试题分析：（1）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数，由频率分布直方图，估计出B类工人生产能力的平均数；（2）列出能力与培训的列联表，计算卡方，结合表格作出判断.试题解析：（1）由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计类工人生产能力的平均数为 ；（2）由（1）及所给数据得能力与培训的列联表如下：由上表得，解得，又人数必须取整，的最小值为360. 19（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连结，证明，再利用线
18、面平行判定定理证明即可；（2）设点到平面的距离为，利用等积法，可求得答案.【详解】（1）取中点，连结，.因为为中点，所以，.因为，.所以且.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连由（1）得平面，设点到平面的距离为，平面平面，平面平面，平面，平面，同理平面；在等腰直角三角形中，在直角三角形中，又，由，点到平面的距离.【点睛】本题考查线面平行的证明、点到面的距离，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得
19、的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；直线 与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得， 的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.试题解析：(1) ，所以，又，解得，所以椭圆的方程为（2）证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，联立方程消去得 ，又，证明：设、，直线的方程为，联立方程消去得 ，而由 得，即. 所以为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有
20、两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，由及可解得；（2）先求得，命题对任意的，且，都有 ，可转化为，等价于在上是增函数利用导数研究可得的范围【详解】解：（1），设，依题意有，且，可得，解得，或，所以或（2），等价于设，则对任意的，等价于在上是增函数，可得，依题意有，对任意，有恒成立由，可得【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是等价转化为用导数研究函数的单调性本题考查了学生分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力，属于较难
21、题22() 曲线是焦点在轴上的椭圆；()【解析】试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得试题解析：()直线的参数方程为. 曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线是焦点在轴上的椭圆. ()将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得， 得， ，23（1）；（2）【解析】【分析】（1）将代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集.（2）由可知，结合绝对值三角不等式可知，进而可知，解不等式即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，当时，不等式可化为，解得，当时，不等式可化为，解得，当时，不等式可化为，解得，综上所述，不等式的解集是.（2），由题意得或的取值范围是【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题.答案第25页，总25页
