1、第八节函数与方程及应用热点命题分析学科核心素养本节是高考的热点，主要考查：(1)利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；(2)判断函数零点、方程根的个数；(3)根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围；(4)函数模型及应用一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大.本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第34页知识点一函数的零点1函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数的零点与方程的根的关系方程f(
2、x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2零点存在性定理如果函数yf(x)满足：(1)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)f(b)0.则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 温馨提醒 二级结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号必明易错1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(
3、x)的图象与x轴交点的横坐标2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象1函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4)D(4，)答案：B2函数f(x)ex3x的零点个数是_答案：13若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是_答案：(8,14(易错题)给出下列命题：函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)；函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0；二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时
4、没有零点；若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点其中正确的是_(填序号)答案：知识点二函数模型及应用指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增续表函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax1已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函
5、数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)g(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)答案：B2用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，所以当x3时，y最大答案：3授课提示：对应学生用书第35页题型一函数零点个数或所在区间的判定自主探究1(2019高考全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0,2的零点个数为()A2B3C4D5答案：B2(2021揭阳模拟)曲线yx与y的交点横坐标所在区间为()A.
6、BC. D解析：设f(x)x，易知f(x)单调递减，ff0，函数零点所在区间为，即所求交点横坐标所在区间为.答案：B3(多选题)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(，0)上单调递减，且f(3)f(6)0，那么下列结论中正确的是()Af(x)可能有三个零点 Bf(3)f(4)0Cf(4)f(6) Df(0)f(6)解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(3)f(6)0，所以f(3)f(6)0.又f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点，且f(3)0，f(6)0，所以函数f(x)在(，0)(0，)上有两个零点但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零
7、点，故A正确；又f(4)f(4)，4(3,6)，所以f(4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(6)的大小关系不确定，所以D不正确答案：AC1.判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个
8、数，其中交点的个数就是函数零点的个数2.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，其次看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.题型二函数模型及应用合作探究例温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响一般来说，温度每升高10 K，化学反应速率大约增加24倍瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应速率与温度之间的关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了
9、相应的Arrhenius 公式：kAe，式中A为指前因子(A0)，e为自然对数的底数，Ea为表现活化能，R为摩尔气体常数通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下的化学反应速率常数与其相应的温度之间的关系已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2，则ln ()A.BC. D 答案D1.与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型2在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系
10、数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数对点训练某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解析：(1)当x6时，y50x
11、115，令50x1150，解得x2.3，因为x为整数，所以3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20，xZ.所以yf(x)(2)对于y50x115,3x6，xZ，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x11532，6x20，xZ，当x11时，ymax270.因为270185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多函数与方程及模型应用中的核心素养(一)直观想象数形结合思想在已知函数零点或方程根确定参数范围中的应用例1(多选题)(2021辽宁沈阳质监改编)已知函数f(x)是
12、定义在(，0)(0，)上的偶函数，当x(0，)时，f(x)则下列选项正确的是()A函数f(x)的最大值为1B函数f(x)的最小值为0C函数f(x)的零点有无数个D函数g(x)8f(x)26f(x)1的零点个数为14解析x(0,2时，f(x)(x1)2，当x2时，f(x)f(x2)，当x(0，)时，将f(x)在区间(0,2上的图象依次向右平移2个单位长度的同时，再将图象上所有点的纵坐标缩小为原来的，就可以得到函数f(x)在(0，)上的图象又f(x)是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称作出yf(x)的图象如图所示由图可知选项A，B，C正确令g(x)0，得f(x)或f(x)，易知直线y与yf(x)的
13、图象有6个交点，直线y与函数yf(x)的图象有10个交点，函数g(x)共有16个零点，选项D不正确答案ABC已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，化为ag(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决(3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解(二)数学建模函数建模在实际问题中的应用例2某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅
14、能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是0,5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)；为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌解析(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，
15、所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.(2)对于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答对点训练某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业
16、就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2008200920102011投资成本x35917年利润y1234给出以下3个函数模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型解析：(1)将(3,1)，(5,2)代入ykxb(k0)，得解得所以yx.当x9时，y4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得所以y()x2.当x9时，y8，不符合题意：将(3,1)，(5,2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得所以ylog2(x1)当x9时，ylog283；当x17时，ylog2164.故可用来描述x，y之间的关系(2)令log2(x1)6，则x65.因为年利润10%，所以该企业要考虑转型
