1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质，常出现在解答题的第(1)问中，难度中等.本节通过线、面垂直的判定及性质考查考生对转化与化归思想的应用，提升直观想象、逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第136页知识点一直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab 温馨
2、提醒 二级结论1直线与平面垂直的定义常常逆用，即a，bab.2若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面3垂直于同一条直线的两个平面平行4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直必明易错证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件1(2021深圳四校联考)若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中是假命题的为()A过点P垂直于平面的直线平行于平面B过点P垂直于直线l的直线在平面内C过点P垂直于平面的直线在平面内D过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面答案：B2(2021唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()ABCD
3、答案：B3“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的_条件答案：必要不充分知识点二平面与平面垂直1平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l 温馨提醒 面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视面面垂直的性质定理在使用时易忘一个平面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误1下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B
4、如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案：A2(2021苏州模拟)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以PC平面PAB，又AB平面
5、PAB，所以PCAB，因为ABPO，POPCP，所以AB平面PGC，又CG平面PGC，所以ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心答案：(1)外(2)垂授课提示：对应学生用书第137页题型一直线与平面垂直的判定与性质合作探究例如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.又AE平面PAC
6、，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.1.判定线面垂直的四种方法2判定线线垂直的四种方法对点训练如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DFAB，PH为PAD中AD边上的高求证：(1)PH平面ABCD；(2)EF平面PAB
7、.证明：(1)因为AB平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如图，取PA的中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB.所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，MD平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.题型二面面垂直的判定与性质合作探究例如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N
8、分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN. 证明(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PA
9、D.又因为CFEFF.故平面CEF平面PAD.又因为CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA，又ABPA，所以ABEF.同理可得ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.变式探究1在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.证明：因为ABPA，ABAC，且PAACA，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB.所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PA
10、C.变式探究2在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EFPA，FGAC，又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF平面PAC.同理，FG平面PAC.又EFFGF，所以平面EFG平面PAC.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)一个转化：在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直对点训练(2020高考全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90.(1)证明
11、：平面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积解析：(1)证明：由题设可知，PAPBPC.由ABC是正三角形，可得PACPAB，PACPBC.又APC90，故APB90，BPC90.从而PBPA，PBPC，故PB平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题设可得rl，l2r22，解得r1，l.从而AB.由(1)可得PA2PB2AB2，故PAPBPC.所以三棱锥PABC的体积为PAPBPC3.题型三平行与垂直的综合问题合作探究例如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：
12、(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE. 证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.又BG平面BCE，平面BCE平面CDE.1.线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用中位线、平行线分线段
13、成比例；证明垂直时常用等腰三角形的中线等2.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.对点训练如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，所以ABPD.又因
14、为PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.平行、垂直关系中的核心素养逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过
15、程平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系例 (2020高考全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN，求四棱锥BEB1C1F的体积 解析(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C
16、1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FPN，故AOPN.又APON，故四边形APNO是平行四边形，所以PNAO6，APONAM，PMAM2，EFBC2.因为BC平面EB1C1F，所以四棱锥BEB1C1F 的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离如图所示，作MTPN，垂足为T，则由(1)知，MT平面EB1C1F，故MTPMsinMPN3.底面EB1C1F的面积为(B1C1EF)PN(62)624.所以四棱锥BEB1C1F的体积为24324.解决平行与垂直的综合应用问题的策略处理平
17、行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化对点训练如图，在底面为菱形的四棱锥PABCD中，PAAD，PACD，E为侧棱PC上一点(1)若BEPC，求证：PC平面BDE；(2)若PA平面BDE，求平面BDE把四棱锥PABCD分成两部分的体积比解析：(1)证明：连接AC(图略)，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为PAAD，PACD，且ADCDD，所以PA底面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC.又因为BEPC，BDBEB，所以PC平面BDE.(2)设ACBDO，连接OE(图略)，因为四边形ABCD为菱形，所以AOOC.因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEOE，所以PAOE，所以PEEC，即E是PC的中点由(1)知PA底面ABCD，所以点E到平面ABCD的距离为PA.故，所以平面BDE把四棱锥PABCD分成两部分的体积比为13(或31)
