1、 5.4等比数列及其前项和一、学习目标1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式与前项和公式；3.掌握等比数列的一些常用性质； 4.掌握等比数列的判定与证明.二、知识要点1.定义：，；2.等比中项：若，成等比数列；3.通项公式：；4.前项和公式：；5.等比数列的性质：若，且，则；依次项之和（不为0）仍为等比数列，即仍是等比数列.6. 判定与证明：定义：，； 等比中项：，；通项结构：； 前项和结构：.三、 典例分析例1.（1）设，则“，成等比数列 ”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件（2）设等比数列的公比为，则“”是“数列是递增数列”的（
2、 ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】（1）A； （2）D.例2.（1）设数列是递增的等比数列，则_ .（2）设等比数列的前项和为，且，则_. 【答案】（1）； （2）1533.例3.（1）设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则_.（2）等差数列的前项和为.已知，且，成等比数列，则的通项公式是_.（3）若是函数的两个不同的零点，且，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_【答案】（1）； （2）或； （3）9例4.（1）已知是等比数列，则=_（2）数列的前项和为，若，则_（3）在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数
3、列，则_【答案】（1）； （2）768； （3）例5.已知数列的前项和为，且 （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，试比较数列的前项和与的大小关系.【答案】（1）由于，可得数列是等比数列，且；（2），则，即.四、 课外作业1在等比数列中，则等于（ ）A B5CD9【答案】D2如果，成等比数列，那么（ ）A，B，C，D，【答案】B3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】
4、B4设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C5已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A B C D【答案】C6已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）A0 B1 C2D4【答案】D7等比数列 的前n项和为，公比不为1，若，且对任意的，都有，则_【答案】：118设为等比数列的前项和，则=_【答案】119. 已知是等比数列，且，则_【答案】510设等比数列的前项和为，若，则_【答案】11设公比为的等比数列的前项和为若，则_【答案】12设等比数列满足，则的最大值为_【答案】13设数列的前项和，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值【答案】（1）由已知，有，即从而又因为成等差数列，即所以，解得所以数列是首项为2，公比为2的等比数列故（2）由（1）得所以由，得，即因为，所以于是，使成立的的最小值为1014已知首项为的等比数列的前项和为, 且成等差数列. （1） 求数列的通项公式； （2） 证明：.【答案】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，于是，又=，所以=.（2）由（1）得，所以 = ，当为奇数时，随的增大而减小，所以=；当为偶数时，随的增大而减小，所以=，故对于，有 .
