1、高考资源网（） 您身边的高考专家高三数学期末试题第卷（选择题：共60分）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、二项式定理、参数方程、绝对值不等式等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）【题文】1.若集合，则（ ） A. B.
2、 C. D. 【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】A 解析：因为，所以,则选A.【思路点拨】在进行集合的运算时，可先对各个集合化简再进行运算.【题文】2已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ） A. B . C. D. 【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】B 解析：因为，所以复数的虚部是，则选B.【思路点拨】数量掌握复数的除法运算是解答的关键.【题文】3在等差数列中,首项,公差若,则=（ ） A. 22 B. 23 C . 24 D. 25 【知识点】等差数列D2【答案】【解析】A 解析：因为，所以k=22.【思路点拨】遇到等差数列问题，若没有性质特征，可利用其通项公式及前n项和公式
3、进行转化解答.【题文】4.下列共有四个命题: （1）命题“”的否定是“”； （2）“函数的最小正周期为”是的必要不充分条件； （3）“在上恒成立”“在 上恒成立”； （4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“” 其中命题正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C . 3 D. 4【知识点】命题 充分、必要条件A2【答案】【解析】B 解析：由特称命题的否定可知(1)正确；对于(2)，因为，当a=1时，最小正周期为，充分性满足，当最小正周期为时a=1或a=1,必要性不满足，所以命题正确；对于(3)若不等式恒成立，只需不等式左边对应的二次函数在所给区间上在直线y=ax上方，其最小值不一定大
4、于右边的最大值，所以错误；对于(4)当两个向量数量积小于0时，其夹角还可能是180，所以错误，综上可知4个命题，正确的为(1)(2)，所以选B.【思路点拨】特称命题的否定格式一般为：特称变全称，结论该否定，判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5在已知数列的前项和，则此数列的奇数项的前项和是 （ ） A. B . C.D. 【知识点】数列求和D4【答案】【解析】C 解析：当n=1时，当n2时，当n=1时也满足此式，所以数列的通项公式为,其奇数项为首项为1，公比为4的等比数列，则所求和为，所以选C.【思路点拨】可由数列的前
5、n项和公式求出其通项公式，再利用等比数列的奇数项仍然是等比数列进行求和.【题文】6.在如图程序框图中, 当时，函数表示函数的导函数. 若输入函数，则输出的函数可化为（ ）A. B. C. D. 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D 解析：第一次执行循环体，n=2, 第二次执行循环体，n=3, ， 第三次执行循环体，n=4, 第四次执行循环体，n=5, ，所以函数以4为周期，所以输出，则选D.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图，可先依次执行循环体，发现其中的变化规律进行解答.【题文】7.若等边的边长为，平面内一点满足：, （ ） A. -1 B . -2 C . 2 D. 3 【知识点】向量
6、的数量积F3【答案】【解析】B 解析：因为，所以选B.【思路点拨】可利用已知条件，结合向量的减法运算，把所求向量用已知向量表示，再由正三角形的条件解答.【题文】8已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ） A. B. C . D. 【知识点】双曲线与抛物线性质H6【答案】【解析】A 解析：因为抛物线的准线为，则有，得p=8，所以m=4,又双曲线的左顶点坐标为(-,0)，则有，解得，所以选A.【思路点拨】一般遇到圆锥曲线上的点到焦点距离关系时，通常利用其定义进行转化求解.【题文】9已知，则（ ）A.-180 B . 180 C .45 D.
7、 -45【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】B 解析：令t=1-x，则x=1-t，所以有，因为，令r=8，得，所以选B.【思路点拨】可先用换元法转化为标准的二项展开式，再利用通项公式求系数.【题文】10已知球的直径,是球球面上的三点，是正三角形，且,则三棱锥的体积为（ ） A. B . C . D. 【知识点】球的截面性质 三棱锥的体积G8【答案】【解析】B 解析：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，ABC是等边三角形，APQ=BPQ=CPQ=30，P在面ABC的投影O是等边ABC的重心，PQ是直径，PCQ=90PC=4cos30=2，PO=2cos30=3OC=2sin30=，O
8、是等边ABC的重心，OC=OH，等边三角形ABC的高OH=，AC=sin60=3三棱锥P-ABC体积=故选B.【思路点拨】结合球的截面性质寻求三棱锥的底边与高与已知条件的关系，再利用三棱锥体积计算公式求体积.【题文】11已知函数的图像关于直线对称，且当时，+0成立 ，若，则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【知识点】偶函数 导数的应用B4 B12【答案】【解析】D 解析：因为函数的图像关于直线对称，所以f(x)为偶函数，则函数xf(x)为奇函数，又当时，=+0，所以函数xf(x)在上单调递减，则在(0,+ )也单调递减，而，所以bac,则选D.【思路点拨】由导数条件发现函数的单调性，
9、由对称条件发现函数的奇函数性质，再进行转化并利用函数的单调性比较大小.【题文】12如图，在平面直角坐标系中，,映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（ ） 【知识点】曲线的方程H9【答案】【解析】A 解析：点P沿着线段AB运动时，x=1，y0，1，此时P（2xy，x2-y2）的坐标为（2y，1-y2），消掉参数y后，得到动点P的轨迹是，点P沿着线段BC运动时，x0，1，y=1，此时P（2xy，x2-y2）的坐标为（2x，x2-1），消掉参数x后，得到动点P的轨迹是，故动点P的轨迹是A.【思路点拨】求轨迹即求动点坐标满足的方程，由两种
10、处理思路：一是求谁设谁，然后根据已知条件列出含有x，y的式子，整理得到轨迹方程；二是已知动点的坐标，但含有参数，可以消掉参数得到轨迹方程.第II卷（非选择题，共90分）【题文】二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）【题文】13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 【知识点】三视图G2【答案】【解析】 解析：由三视图可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，因为,则其表面积等于 .【思路点拨】先判断出几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，结合直观图判断各面的形状及相关几何量的数据，再把数据代入面积公式进行计算.【题文】14设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为 【知识点】
11、导数的应用 数列求和B12 D4【答案】【解析】1 解析：因为，所以在x=1处的切线斜率为n+1，则切线方程为y1=(n+1)(x1)，令y=0得，所以.【思路点拨】遇到数列求和，可先由已知条件求出其通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】15已知关于的方程的两个实根分别为，且，则的取值范围是 【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】 解析：令，由得，该不等式组表示的平面区域如图,则为区域内的点与原点连线的斜率，可解得P点坐标为，由图可知的取值范围是.【思路点拨】一般遇到由二元一次不等式组条件求最值问题，可结合其几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】16已知R上的不间断函数满足
12、：（1）当时，恒成立；（2）对任意的都有。奇函数满足：对任意的,都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围 。【知识点】函数的奇偶性与周期性 导数的应用B4 B12【答案】【解析】(,0 1，+) 解析：由对任意的都有得，当时，恒成立；所以，由对任意的,都有成立知f(x)以为周期，当时，则x0,1时函数f(x)单调递减，在上函数f(x)单调递增，则此时f(x) 2,0，由f(x)为奇函数得当时f(x) -2,2，由函数f(x)的周期性可知当时，f(x) -2,2，所以，若恒成立，只需,解得a1或a0，所以a的取值范围是(,0 1，+).【思路点拨】可先结合函数的单调性对不等式进行转
13、化，再求出不等式左边的最大值，右边大于等于左边的最大值即可.【题文】三、解答题（本大题共6小题，共70分）【题文】17已知向量,记.（1）若,求函数的值域；（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.【知识点】向量的数量积 三角函数的性质 解三角形F3 C3 C8【答案】【解析】(1) 0,1；(2) 解析：(1)，由得，则函数的值域为0,1；(2)因为，得,则有,解得.【思路点拨】一般研究与三角有关的函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拨性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰.现有5
14、00名学生参加测试，参加测试的学生的成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求获得参赛资格的学生人数，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生考试的平均成绩； （2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中，每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或错答3题终止答题，答对3题者方可参加复赛.已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.【知识点】频率分布直方图 离散随机变量的分别列与期望I2 H8【答案】【解析】(1)获得参赛资格的学生人数为125；平均成绩为78.48； (2) 解析：（1）获得参赛资格的人数m=（0.
15、005+0.0043+0.032）20500=125平均成绩：=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）20=78.48（2）设甲答对每一道题的概率为P，则，则答题个数可能取的值为3，4，5，, 的分布列为.【思路点拨】求离散随机变量的分布列与期望时，可先确定随机变量的取值，求出各个取值对应的概率，即可得其分布列，再用公式求期望即可.【题文】19如图：四棱锥中， （1）证明：平面 （2）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由. 【知识点】线面垂直的判定 线面所成角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2)存在，F为P
16、D的中点 解析： (1）证明：取线段BC中点E，连结AE因为AD，PDA=30，所以PA=1因为ADBC，BAD=150所以B=30又因为AB=AC，所以AEBC，而BC2，所以ACAB=2，因为PC，所以PC2=PA2+AC2，即PAAC因为PAAD，且AD，AC平面ABCD，ADAC=A，所以PA平面ABCD（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则P(0，0，1),B(1，,0),处（1，,，0），D(0，,0)，设，因为点F在线段PD上，设,可得，即，所以，设平面PBC的法向量为，则有，即，令x=1，得，因为直线CF与平面PB
17、C所成角的正弦值等于，所以，解得，所以点F是线段PD的中点.【思路点拨】证明线面垂直通常利用其判定定理转化为线线垂直进行证明，遇到线面角问题，可建立空间直角坐标系利用空间向量的夹角进行求值.【题文】20已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为,直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点。（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.【知识点】椭圆 直线与椭圆位置关系H5 H8【答案】【解析】(1) ；(2)1 解析：（1）由题意：一条切线方程为：x=2 ，设另一条切线方程为y4=k(x2)，则，解得，此时切线方程为，切线方程与圆方程联立得，则直线AB的方程为x+2
18、y=2，令x=0，解得y=1，b=1；令y=0，得x=2，a=2，故所求椭圆方程为.（2）联立,整理得，令，则，由0得，原点到直线l的距离为，=，当且仅当时取等号，则OPQ面积的最大值为1.【思路点拨】一般遇到直线与椭圆的位置关系问题时，通常先把所要解决的问题转化为坐标关系，再联立方程利用韦达定理转化求解.【题文】21.已知函数（1）若求函数的单调区间； （2）若且对任意,恒成立，求实数的取值范围;（3）设函数 求证：.【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】(1) 单调递增区间是 (1,+ )，单调递减区间是(,1)； (2) 0ke；(3)略 解析：（1）由k=e得,所以,由得x1,故f
19、（x）的单调递增区间是 (1,+ )由得x1,故f（x）的单调递减区间是(,1)； （2）由可知是偶函数,于是0对任意xR成立等价于f(x) 0对任意x0成立,由得x=lnk,当k(0,1)时，此时f(x)在0,+ 上单调递增,故f(x) f(0)=10，符合题意；当k(1,+ )时，lnk0,当x变化时的变化情况如下表：由此可得，在0,+ )上，f(x) f(lnk)=kklnk依题意kklnk0，又k1,1ke,综合得，实数k的取值范围是0ke.（3），由此得.【思路点拨】求函数的单调区间可通过导数的符号进行解答，遇到不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题进行解答.请考生在22,23,24
20、题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分.【题文】22.选修41：几何证明选讲 如图，已知切圆于点，是圆的直径,交圆于点,是圆的切线，于,求的长. 【知识点】圆的切线性质N1【答案】【解析】 解析：连接OD，DE是圆O的切线，ODDE，又CEDE于E，ODCE，ECD=ODC=OCD，DE=3，CE=4，CD=5，tanECD=tanODC=tanOCD=，cosOCD=，故BC=，故AB=BCtanOCD=75.【思路点拨】连接OD，可得ODCE，进而ECD=ODC=OCD，结合DE=3，CE=4，先后求出CD，OC，进而可得AB的长.【题文】23.选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数
21、方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于两点.（1）求直线与曲线的普通方程； （2）设, 求的值.【知识点】参数方程N3【答案】【解析】(1)l: xy2=0；C:；(2) 解析：(1)对直线l的参数方程，两式相减整理得xy2=0；对曲线C的方程消参得；(2)将l的参数方程中的x,y代入曲线C的普通方程得，则.【思路点拨】一般遇到直线上的点与直线经过的点的距离关系时，可考虑利用直线参数方程中的参数的几何意义进行转化解答.【题文】24.选修45：不等式选讲设函数 （1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【知识点】绝对值不等式N4【答案】【解析】(1) ； (2) 解析：(1) 不等式可化为或或,解得或x1,所以所求不等式的解集为(2)因为，可得f(x) ,若恒成立，则，解得.【思路点拨】解绝对值不等式，可先分段讨论去绝对值再解不等式，遇到不等式恒成立求参数范围问题，可转化为函数的最值问题进行解答.- 15 - 版权所有高考资源网
