1、高考资源网（） 您身边的高考专家 陕西省西安地区八校联考2015届高三下学期联考（三）数学（理）试题A【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。注重基础知识的考查。注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。【题文】第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设集合A=0，2，a，B=2，a2若AB=0，2，4，16，则实数a的值为（） A0 B1 C2 D4【知识点】并集
2、及其运算A1【答案】【解析】D 解析：根据题意，集合A=0，2，a，B=2，a2，且AB=0，2，4，16，则有a=4，故选：D【思路点拨】根据题意，由A与B及AB，易得a2=16，分情况求得A、B，验证AB，即可得到答案【题文】2已知复数在夏平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义L4【答案】【解析】D 解析：z1z2=（2+i）（1i）=3i，该复数对应点为（3，1），位于第四象限，故选D【思路点拨】先对z1z2进行化简，从而可得其对应的点，进而得到答案【题文】3已知数列的 A充分不必要条件 B必要不充
3、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】A 解析：若an，an+1，an+2（nN+）成等比数列，则an+12=anan+2成立，当an=an+1=an+2=0时，满足an+12=anan+2成立，但an，an+1，an+2（nN+）成等比数列不成立，故an，an+1，an+2（nN+）成等比数列是“an+12=anan+2”的充分不必要条件，故选：A【思路点拨】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题文】4对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是 【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】D
4、解析： |=|cos|，A不正确，根据向量加法平行四边形法则，|+|=|+|，当向量不共线时，等号不成立，B不一定正确；（）是向量，其方向与向量共线，（）是向量，其方向与向量共线，方向不一定相同，C错误；=|cos0=|=|2|，D正确,故选：D.【思路点拨】本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义，有关向量的式子代表的含义，理解仔细，认真【题文】5执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 A870 B30 C6 D3【知识点】程序框图L1【答案】【解析】B 解析：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=32=6；当N=2时，A=6，故
5、数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=65=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案【题文】6设（5x）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=240，则n的值为（）A4B6C8D10【知识点】二项式系数的性质J3【答案】【解析】A 解析：各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，MN=240=4n2n，解得n=4故选：A【思路点拨】由于各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，MN=240=4n2n，解方程求得 n 的值
6、【题文】7一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为【知识点】球的体积和表面积G8【答案】【解析】B 解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC=，外接球的面积是4（）2=3，故选：B【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，利用四棱锥补全正方体，即四棱锥的外接球即是边长
7、为1的正方体的外接球，由此可得外接球的直径为，代入球的表面积公式计算.【题文】8已知实数的取值范围是【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】C 解析：由约束条件作可行域如图，联立，解得，A（2，1），联立，解得，令u=2x2y1，则，由图可知，当经过点A（2，1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=222（1）1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=，z=|u|0，5）故选：C【思路点拨】由约束条件作出可行域如图，令u=2x2y1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围【题文】9定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为
8、偶函数，则n的最小值为【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换C4【答案】【解析】B 解析：将函数f（x）=cosxsinx=2cos（x+）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y=2cos（x+m+）再根据所得图象关于y轴对称，可得m+=k，即m=k，kz，则m的最小值是，故选：B【思路点拨】由条件利用三角恒等变换、y=Asin（x+）的图象变换规律，可得y=2cos（x+m+）图象关于y轴对称，可得m+=k，kz，由此求得m的最小值【题文】10已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A4B3C2D1【知识点】
9、抛物线的应用H7【答案】【解析】A 解析：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y2=0,点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a22|=2得：a2+a=0或a2+a4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得ABC的面积为2（即图中的三角形ABC1，ABC2，ABC3，ABC4）故应选：A【思路点拨】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数【题文】11函数f(
10、x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是 【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性B9 B12【答案】【解析】B 解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f（2）f（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2）与点（3，f（3）割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0f(3)f(2)故选：B【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，
11、所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f（2）f（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论【题文】12已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】C 解析：由题意可知，一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为 y0=k（xc），代入渐近线方程 y=x，可得H的坐标为（，），故F2H的中点M（，），根据中点M在双曲线C上，=1，=2，故e=，故选：C【思路点拨】设一渐近线方程为y=x，则F2H的方程
12、为y0=k（xc），代入渐近线方程 求得H的坐标，有中点公式求得中点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线求得离心率【题文】第卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分【题文】13已知数列的值为 。【知识点】数列递推式D1【答案】【解析】3 解析：已知数列an满足（nN+），根据数列的递推关系式求得：a23，a3，a4，a52，a63，所以数列的周期为4，所以【思路点拨】首先根据已知条件和递推关系式求出数列中的各项，进一步求出数列的周期，最后确定结果【题文】14若指数函数在其定义域内是减函数，则a的取值范围是_j【知识点】指数函数的图像与性质B6【答案】【解析】
13、 解析：y=（a21）x在定义域内是减函数，0a211，即1a22，解得1a或a1，故答案为：【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论【题文】15由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x 的值为_【知识点】计数原理的应用J1【答案】【解析】2 解析：当x0时，有A44=24个四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x故24（1+4+5+x）=288，解得x=2；当x=0时，每个四位数的数字之和为1+4+5=10，而288不能被10整除，即x=0不合题意，总上可知x=2，故答案为：2【思路点拨】根据题意，分情况讨论讨论，当x0时，四个数字进行
14、全排列得到四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x，24个四位数总和是24（1+4+5+x）=288得到x=2；当x=0时，288不能被10整除，即x=0不合题意，得到结果【题文】16已知函数有解，则实数m的取值范围为_【知识点】其他不等式的解法E1【答案】【解析】 解析：关于x的不等式f（x）m2m有解，即为f（x）maxm2m，由函数f（x）=，则x1时，f（x）递减，即有f（x）0；当x1时，y=x2+x的对称轴x=，则有f（x）f（）=，则f（x）在R上的最大值为则m2m，解得，m1故答案为：【思路点拨】关于x的不等式f（x）m2m有解，即为f（x）maxm2m，通过对数函数和二次
15、函数的性质，求得f（x）的最大值，再由二次不等式的解法，即可得到范围【题文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）【题文】17（本小题满分12分）ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a，b，c也成等差数列，求证：ABC为等边三角形【知识点】三角形的形状判断；等差数列的性质；等比数列的性质D2 D3 C8【答案】【解析】见解析 解析：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）因为A，B，C为ABC的内角，所以A+B+C=由（1）（2）得B=（3）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）由余弦定理及（3），可得b
16、2=a2+c22accosB=a2+c2ac再由（4），得a2+c2ac=ac，即（ac）2=0因此a=c从而A=C（5）由（2）（3）（5），得A=B=C=所以ABC为等边三角形【思路点拨】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，进而根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2ac=ac，整理求得a=c，判断出A=C，最后利用三角形内角和气的A和C，最后证明原式【题文】18（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交线段B1C于点F以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分
17、别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图（）求证：A1C平面BED；（）求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系G10 G11【答案】【解析】（） 见解析; （） 解析：（）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）设E（0，2，t），则BEB1C，t=1E（0，2，1），且，且，平面BDE （）由（）知是平面BDE的一个法向量，A1B与平面BDE所成角的正弦值为【思路点拨】（I）由已知中，正四棱柱ABCDA
18、1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，我们易求出正四棱柱中各顶点的坐标，设E（0，2，t），根据BEB1C，我们易由它们的方向向量数量积为0，构造关于t的方程，求出t值，然后根据向量数量为0，向量垂直，对应的线段也垂直，可证得直线A1C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A1C平面BED；（）由（1）中结论，我们可得是平面BDE的一个法向量，再求出直线A1B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小【题文】19（本小题满分12分）现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定
19、自己去哪里琨，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地 （I）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率； （）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率； （）用X、Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记求随机变量亭的分布列与数学期望【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式K4 K5 K6【答案】【解析】（1）;（2）;(3)见解析 解析：（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4）（2分）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为（4分）（2）
20、设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4，（8分）（3）的所有可能取值为0，3，4，（10分）的分布列是034P（12分）【思路点拨】（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为，由此能求出这4个人中恰有1人去A地游戏的概率（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4，由此能求出这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率（3）的所有可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列与数学期望E【题文】20（本小题满分12分）设P为椭圆 +=1（ab0）上任一点，F1、F2为椭圆的焦点，|P
21、F1|+|PF2|=4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=kx+m（0）与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C的直线y=x上，O为坐标原点求OAB的面积S的最大值【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】（1）（2）解析：（1）根据题意，可得2a=PF1|+|PF2|=4，所以a=2，又c=ae=，所以b=，所以椭圆的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（xc，yc），将直线l：y=kx+m代入方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0 （*）由韦达定理可知xc=，从而yc=kxc+m=，又线段AB的中点C的直线y=x上，所以=，解得k=1，则（*
22、）变为3x24mx+2m24=0，所以|AB|=，则OAB底边AB的高h=，所以S=，（6m2）m2，S，即S得最大值为【思路点拨】（1）根据题意，计算出a、b的值即可；（2）联立直线l与椭圆方程消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理可得C（xc、yc），再将其代入所在直线y=x上，可解得k=1，故可化简关于x的一元二次方程，从而得到关于S的表达式，再结合不等式即可得到最大值【题文】21（本小题满分12分）已知函数f（x）=ln（x+a）+ax（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若a（1，0），函数g（x）=a|f（x）|的图象上存在P1，P2两点，其横坐标满足1x1x26，且
23、g（x）的图象在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性B11 B12【答案】【解析】（1）ln（）a21（2）（1，）解析：（1）f（x）=ln（x+a）+ax，函数f（x）的定义域为（a，+），f（x）=+a=，当a0时，f（x）=+a0，函数在（a，+）为增函数，无极值当a0时，令f（x）=0，解得x=aa当f（x）0时，解得axa，函数为增函数，当f（x）0时，解得
24、xa，函数为减函数，故当x=a，函数f（x）有极大值，极大值为f（a）=ln（）a21，综上所述，当a0时，函数f（x）在（a，+）为增函数，无极值，当a0时，函数f（x）在（a，a）为增函数，在（a，+）函数为减函数，函数f（x）有极大值，极大值为ln（）a21；（2）由（1）知，当a（1，0）时，g（x）=a|f（x）|=a|+a|=函数图象上存在符合要求的两点，必须1x1x26，得：1a3；当x（a，a）时，g（x）=+a2，函数在点P1处的切线斜率为k1=；当x（a，+）时，g（x）=a2，函数在点P2处的切线斜率为k2=；函数图象在两点处切线互相垂直即为：=1；即（x1+a）2（x2
25、+a）2=a2因为01+ax1+ax2+a6+a，故上式即为（x1+a）（x2+a）=a所以，解得：2a综合得：所求a的取值范围是（1，）【思路点拨】（1）先求导，再分类讨论，当a0时，和a0时，分别利用导数求出单调区间和极值；（2）先把g（x）化为分段函数，分别求出函数在点P1和P2处的切线斜率，根据斜率的乘积等于1，得到（x1+a）2（x2+a）2=a2，继而得到关于a的不等式组，解得即可 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑【题文】22（本小题满分10分）选修
26、4-1:几何证明选讲如图，过圆O外一点P分别作圆O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，过点A作PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q（1）求证：AB2=PBAD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2求PC的长【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】【解析】（1）见解析（2） 解析：（1）证明：PO是圆O的切线，ADPB，PAB=BDA，APB=QAD=DBA，PABBDA，AB2=PBAD；（2）解：ADPB，PA=2AQ，=AD=，QD=2，PB=3，QB=6PO是圆O的切线，PA=2AQ，PBPC=PA2=4QA2=QDQB，PC=【思路点拨】（1）证明PABBDA，可
27、得AB2=PBAD；（2）利用PO是圆O的切线，PA=2AQ，可得PBPC=PA2=4QA2=QDQB，结合AD=，QD=2，求PC的长【题文】23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C和直线l的极坐标方程分别为=2cos，cos（+）=2（其中tan=2，（0，）（）求圆C和直线l的直角坐标方程；（）设圆C和直线l相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】（）x2y2=0;（） 解析：（）圆C的极坐标方程分别为=2cos，转化成直角坐标方程为：（x1）2+y
28、2=1，由于：tan=2，（0，）则：，极坐标方程cos（+）=2转化成直角坐标方程为：x2y2=0（）由（）得：解得：A（2，0），B（，），则：，设点M（x，y）是圆D上的任意一点，则：所以：+整理得：5x2+5y212x+4y=0转化成标准形式为：转化成参数方程为：（为参数）【思路点拨】（）直接把极坐标方程转换成直角坐标该方程（）首先建立方程组求出交点的坐标，进一步利用直径所对的圆周角为90，进一步转化成向量垂直，再利用向量垂直的充要条件求出方程，再转化成参数方程【题文】24（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数 （I）当a=3时，求不等式f（x）4的解集； （）若不等式的
29、解集为空集，求实数a的取值范围，【知识点】绝对值不等式的解法N4【答案】【解析】（）0，4（）3，+）（，1 解析：（）当a=3时，f（x）=|x3|+|x1|，即有f（x）=，不等式f（x）4即为或或，即有0x1或3x4或1x3，则为0x4，则解集为0，4；（）依题意知，f（x）=|xa|+|x1|2恒成立，2f（x）min；由绝对值三角不等式得：f（x）=|xa|+|x1|（xa）+（1x）|=|1a|，即f（x）min=|1a|，|1a|2，即a12或a12，解得a3或a1实数a的取值范围是3，+）（，1【思路点拨】（）求出当a=3时，f（x）的分段函数式，原不等式即化为一次不等式组，分别解得它们，再求并集即可；（）利用绝对值三角不等式可得f（x）=|xa|+|x1|（xa）+（1x）|=|1a|，依题意可得|1a|2，解之即可- 16 - 版权所有高考资源网
