1、高考资源网（） 您身边的高考专家2014-2015学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的1过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（） A 2x+y1=0 B 2x+y5=0 C x+2y5=0 D x2y+7=02已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（） A 30 B 60 C 120 D 1503在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A （2，2） B （1，1） C （2，2） D （1，1）4
2、若一圆的标准方程为（x1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（） A （1，5）， B （1，5）， C （1，5），3 D （1，5）5已知直线3x+2y3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（） A 4 B C D 6以两点A（3，1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（） A （x1）2+（y+2）2=100 B （x1）2+（y2）2=100 C （x1）2+（y2）2=25 D （x+1）2+（y+2）2=257已知二面角l的大小为60，m、n为异面直线，且m，n，则m、n所成的角为（） A 30 B 60 C 90 D 1208已知某几何体的三视图如下
3、，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（） A cm3 B cm3 C cm3 D cm39已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A 若m，n，则mn B 若，则 C 若m，m，则 D 若m，n，则mn10长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A 20 B 25 C 50 D 20011当a为任意实数时，直线（a1）xy+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（） A x2+y22x+4y=0 B x2+y2+2x+4y=0 C x2+y2+2x4y=0 D x2+y22x4y
4、=012若P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A xy3=0 B 2x+y3=0 C x+y1=0 D 2xy5=013点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，在ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（） A 4 B C 3 D 214已知矩形ABCD，AB=1，BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（） A 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置，三对直线“AC与BD”，“A
5、B与CD”，“AD与BC”均不垂直15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（） A B C D 二.填空题16设直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=时，l1l217经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是18已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y14=0求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程19直线xcos+y+m=0的倾斜角范围是20若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB中点M到原点距离的
6、最小值为21设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为22与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是23已知直线l，m，n，平面，m，n，则“l”是“lm，且ln”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）三解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24直线l经过点P（2，5），且与点A（3，2）和B（1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程25如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO平面A1B1C1已知BCA=90，AA1=AC=BC=2（）证明：OE平面AB1C
7、1；（）求异面直线AB1与A1C所成的角；（）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值26在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使A点落在线段DC上（）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值2014-2015学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的1过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（） A 2x+y1=0
8、B 2x+y5=0 C x+2y5=0 D x2y+7=0考点： 直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系专题： 计算题分析： 根据题意，易得直线x2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程解答： 解：根据题意，易得直线x2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2，又知其过点（1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y1=0点评： 本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况2已知直线l的方程为x+y+4=0，则直线l的倾斜角为（） A 30 B 60 C 120 D 150考点：
9、 直线的倾斜角专题： 直线与圆分析： 化直线的一般式方程为斜截式，得到直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求解倾斜角解答： 解：由直线l的方程为x+y+4=0，化为斜截式得：，直线l的斜率为，设直线的倾斜角为 （0180）由，得=150故选：D点评： 本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率之间的关系，是基础题3在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（） A （2，2） B （1，1） C （2，2） D （1，1）考点： 中点坐标公式专题： 计算题分析： 利用两点的中点坐标公式，直接求解即可解答： 解：由中点坐标公式可得，点A（1，2），B（3，0）
10、，那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）故选B点评： 本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用4若一圆的标准方程为（x1）2+（y+5）2=3，则此圆的圆心和半径分别为（） A （1，5）， B （1，5）， C （1，5），3 D （1，5）考点： 圆的标准方程专题： 计算题分析： 由圆的标准方程找出圆心坐标与半径即可解答： 解：圆的标准方程为（x1）2+（y+5）2=3，圆心坐标为（1，5），半径r=故选B点评： 此题考查了圆的标准方程，是一道基础题解题的关键是掌握圆的标准方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），其中圆心坐标为（a，b），半径为r5已知直线3x+2y3=0和6x
11、+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（） A 4 B C D 考点： 两条平行直线间的距离专题： 直线与圆分析： 根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离解答： 解：直线3x2y3=0即 6x4y6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4可得它们间的距离为 d=，故选：D点评： 本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题6以两点A（3，1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（） A （x1）2+（y+2）2=100 B （x1）2+（y2）2=100 C （x1）2+（y2）2=2
12、5 D （x+1）2+（y+2）2=25考点： 圆的标准方程专题： 综合题分析： 要求圆的方程，即要求圆心坐标和半径，由AB为所求圆的直径，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可解答： 解：设线段AB的中点为C，则C的坐标为（，）即为（1，2），所求圆的圆心坐标为（1，2）；又|AC|=5，则圆的半径为5，所以所求圆的标准方程为：（x1）2+（y2）2=25故选C点评： 此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题7已知二面
13、角l的大小为60，m、n为异面直线，且m，n，则m、n所成的角为（） A 30 B 60 C 90 D 120考点： 平面与平面之间的位置关系专题： 计算题分析： 由条件m，n可知m、n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补，而异面直线所成角的范围是090，所以m、n所成的角为二面角l所成的角解答： 解：m，n，m、n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为60，异面直线m、n所成的角为60故答案为60，选B点评： 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题8已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
14、 A cm3 B cm3 C cm3 D cm3考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果解答： 解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，三棱锥的体积是=cm3，故选：C点评： 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高本题是一个基础题9已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A 若m，n
15、，则mn B 若，则 C 若m，m，则 D 若m，n，则mn考点： 平面与平面平行的判定专题： 证明题分析： 通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论解答： 解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故B错误；C、，平行与同一条直线m，故， 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确故选 D点评： 本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题10长方体的一个顶
16、点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A 20 B 25 C 50 D 200考点： 球的体积和表面积专题： 计算题分析： 设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积解答： 解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，R=S球=4R2=50故选C点评： 本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题11当a为任意实数时，直线（a1）xy+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（） A x2+y22x+4y=0 B x2+y2+2x+4y=
17、0 C x2+y2+2x4y=0 D x2+y22x4y=0考点： 圆的一般方程；恒过定点的直线分析： 先求直线过的定点，然后写出方程解答： 解：由（a1）xy+a+1=0得（x+1）a（x+y1）=0，x+1=0且x+y1=0，解得x=1，y=2，该直线恒过点（1，2），所求圆的方程为（x+1）2+（y2）2=5即x2+y2+2x4y=0故选C点评： 本题考查恒过定点的直线，圆的一般方程，是基础题12若P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A xy3=0 B 2x+y3=0 C x+y1=0 D 2xy5=0考点： 直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的
18、性质专题： 计算题分析： 由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程解答： 解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=1kAB=1，又直线AB过点P（2，1），直线AB的方程是xy3=0故选A点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直13点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，在ABC中，BC=6，AB=AC=5，则点P到BC的距离是（） A 4 B C 3 D 2考点： 点、线、面间的距离计算专题： 计算题；数形结合分析： 由P是等
19、腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，我们易得PB=PC，取BC的中点D，则ADBC，且PDBC，利用勾股定理我们易求出AD的长，进而求出PD的长，即点P到BC的距离解答： 解：如下图所示：设D为等腰三角形ABC底面上的中点，则PD长即为P点到BC的距离又AD即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高BC=6，AB=AC=5，易得AD=4在直角三角形PAD中，又PA=8PD=4故选A点评： 本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，做出PD即为点P到BC的垂线段是解答本题的关键14已知矩形ABCD，AB=1，BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻
20、折过程中（） A 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直考点： 空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BDEC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误解答： 解：如图，AEB
21、D，CFBD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则BDAE，BD平面AEC，从而BDEC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD平面ABC，平面ABC平面BCD取BC中点M，连接ME，则MEBD，AEM就是二面角ABDC的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC平面ACD，从而平面ACD平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排
22、除D故选 B点评： 本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题二.填空题15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（） A B C D 考点： 直线与平面所成的角专题： 计算题分析： 由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角解答： 解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2
23、，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D点评： 此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题16设直线l1：x+my+6=0和l2：（m2）x+3y+2m=0，当m=1时，l1l2考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系专题： 直线与圆分析： 由平行的条件可得：，解后注意验证解答： 解：由平行的条件可得：，由 ，解得：m=1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=1故答案为：1点评：
24、本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题17经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是（x+2）2+y2=4考点： 圆的一般方程专题： 计算题；直线与圆分析： 根据题意，设圆的标准方程为（xa）2+y2=4（a0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=2，即可得出所求圆的方程解答： 解：设圆的圆心为（a，0）（a0），由圆的半径为2，可得圆的方程为（xa）2+y2=4，又原点O（0，0）在圆上，（0a）2+02=4，得a2=4，解得a=2（舍正）由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4故答案为：（x+2）2+y2=4点评： 本题已知圆满足的条件，
25、求圆的标准方程着重考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系等知识，属于基础题18已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y14=0求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程x+y2=0考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 计算题分析： 联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程解答： 解：联立两圆的方程得：，得：2x+2y14=10，即x+y2=0所以经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为x+y2=0故答案为：x+y2=0点评： 此题考查学生掌握圆与圆的位置关系及判定，是一道中档题本题的突破点是联立两圆方程消去x与y的平方项19直线xcos+y+m=
26、0的倾斜角范围是考点： 直线的倾斜角专题： 直线与圆分析： 求出直线的斜率，根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论解答： 解：直线斜截式方程为y=cosxm，即直线的斜率k=cos1，1，设直线的倾斜角为，当0tan1时，0，当1tan0时，综上0或，故答案为：点评： 本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系，根据正切函数的图象和性质是解决本题的关键20若动点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为3考点： 两条平行直线间的距离；两点间的距离公式专题： 直线与圆分析： 根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1
27、、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案解答： 解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y6=0，M到原点的距离的最小值为d=3故答案为：点评： 本题主要考查了两点间的距离公式的应用考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力21设点P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最大值为+2考点： 圆的标准方程专题： 直线与圆分析： 表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，其最大值为圆心（0，4）与（1，1）的距
28、离加上半径解答： 解：根据题意，表示圆上点P（x，y）与（1，1）的距离，则其最大值为圆心（0，4）与（1，1）的距离加上半径，即的最大值为：+2=+2故答案为：点评： 本题考查与圆上点相关的最大值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和两点间距离公式的合理运用22与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1考点： 轨迹方程专题： 直线与圆分析： 利用两圆相外切的性质即可列出方程解答： 解：设M（x，y）为所求轨迹上任一点，则由题意知1+|y|=，化简得x2=2|y|+1因此与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1故答案为x2=2
29、|y|+1点评： 熟练掌握两圆相外切的性质是解题的关键23已知直线l，m，n，平面，m，n，则“l”是“lm，且ln”的 充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）考点： 充要条件专题： 常规题型分析： 本题首先要理解充分、必要条件的概念及题目中的条件和结论，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论解答： 解：l 由线面垂直的定义知：lm，且ln又由线面垂直的判定定理知 lm，且ln推不出l“l”是“lm，且ln”的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评： 本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件
30、的概念有个更深刻的理解三解答题（共28分，其中24题8分，25，26题10分）24直线l经过点P（2，5），且与点A（3，2）和B（1，6）的距离之比为1：2，求直线l的方程考点： 直线的一般式方程；点到直线的距离公式专题： 直线与圆分析： 首先设直线l的方程为y+5=k（x2），然后根据点到直线的距离公式得出，求出k的值，即可求出直线方程解答： 解：直线l过P（2，5），可设直线l的方程为y+5=k（x2），即kxy2k5=0A（3，2）到直线l的距离为d1=B（1，6）到直线l的距离为d2=d1：d2=1：2k2+18k+17=0解得k1=1，k2=17所求直线方程为x+y+3=0和17x
31、+y29=0点评： 此题考查了直线的一般方程和点到直线的距离公式，熟练掌握点到直线的距离公式是解题的关键，属于中档题25如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO平面A1B1C1已知BCA=90，AA1=AC=BC=2（）证明：OE平面AB1C1；（）求异面直线AB1与A1C所成的角；（）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角专题： 计算题；证明题分析： 解法一：（）证明OEAC1，然后证明OE平面AB1C1（）先证明A1CB1C1再证明A1C平面AB1C
32、1，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90（） 设点C1到平面AA1B1的距离为d，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值解法二：如图建系Oxyz，求出A，A1，E，C1，B1，C的坐标（）通过计算，证明OEAC1，然后证明OE平面AB1C1（）通过，证明AB1A1C，推出异面直线AB1与A1C所成的角为90（）设A1C1与平面AA1B1所成角为，设平面AA1B1的一个法向量是利用推出，通过，求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值解答： 解法一：（）证明：点O、E分别是A1C1、AA1的中点，OEAC1，又EO平面AB1C1，AC1平面AB1C1，OE平面AB1C1（4分）（）
33、AO平面A1B1C1，AOB1C1，又A1C1B1C1，且A1C1AO=O，B1C1平面A1C1CA，A1CB1C1（6分）又AA1=AC，四边形A1C1CA为菱形，A1CAC1，且B1C1AC1=C1A1C平面AB1C1，AB1A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90（8分）（） 设点C1到平面AA1B1的距离为d，即d（10分）又在AA1B1中，SAA1B1=，A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值（12分）解法二：如图建系Oxyz，C1（0，1，0），B1（2，1，0），（2分）（）=，即OEAC1，又EO平面AB1C1，AC1平面AB1C1，OE平面AB1C1（6分）（），即AB
34、1A1C，异面直线AB1与A1C所成的角为90（8分）（）设A1C1与平面AA1B1所成角为，设平面AA1B1的一个法向量是则即不妨令x=1，可得，（10分），A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值（12分）点评： 本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力26在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使A点落在线段DC上（）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值考点： 直线的一般式方程；直线的斜率专题： 计算题；
35、应用题；压轴题分析： （I）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程（II）同（I）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！解答： 解：（I）（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=（2）当k0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0a2），所
36、以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=1，k=1a=k故G点坐标为G（k，1）（2k0）从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（，）折痕所在的直线方程y=k（x+），即y=kx+（2k0）由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，y=；k0时y=kx+（2k0）（II）（1）当k=0时，折痕的长为2；（2）当k0时，如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，），P（2，2k+）这时，2+k0，y=PN2=4+4k2=4（1+k2）（4，16（2）如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，），P（，0）这时，1k2+，y=+=y=令y=0解得k=，y=|k=1=2，y=，y=16（2），y，16（2）如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（，1），P（，0）这时，2k1，y=PN2=+1，2）综上述，ymax=16（2）所以折痕的长度的最大值=2（）（2.07）点评： 分类讨论思想是中学的四大数学思想之一，利用分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养但在针对本题的解答中，要注意分析所有的可能情况，并要注意不重分，不漏分高考资源网版权所有，侵权必究！
