1、 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 题型1 向量数量积、模及夹角的坐标运算例 1 已知向量 a()4，3，b()2，1.(1)求|a，|b；(2)求 ab 的值；(3)求()a2b()ab 的值分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算 解析：(1)|a 42325；|b （2）212 5.(2)ab()4，3()2，1 835.(3)方法一 a2b()0，5，ab()6，2，()a2b()ab()0，5()6，2 10.方法二()a2b()ab a2ab2b2 2551010.点评：求()a2b()ab 的值时，方法一用向量的坐标法，先
2、分别求出()a2b 与()ab 的坐标，再用数量积公式求解，方法二直接用向量运算律进行运算 跟踪训练1已知向量 a()4，3，b()2，1.(1)求向量 ab 与 ab 的夹角；(2)若向量 ab 与 2ab 垂直，求 的值分析：先把向量 ab 与 ab 用坐标表示出来，然后再根据夹角公式求解 解析：(1)ab()2，4，ab()6，2，|ab 2 5，|ab 2 10，cos()2，4()6，22 52 10 22，45.(2)方法一 ab()42，3，2ab()6，7，向量 ab 与 2ab 垂直，()42，3()6，7 0.解得 9.方法二 向量 ab 与 2ab 垂直，(ab)(2ab
3、)0，2a2(21)abb20，又|a 42325，|b （2）212 5，ab()4，3()2，1 835，505()21 50，解得 9.题型2 根据向量间的关系求向量的坐标例 2 已知 a 与 b 同向，b()1，2，ab10.(1)求向量 a 的坐标；(2)若 c()2，1，求 a()bc 及()ab c.分析：设向量 a 的坐标为()x，y，根据等量关系列方程组求解 解析：(1)设 a()x，y，依题意有 x2y10，2xy0，解得x2，y4.a()2，4.(2)bc()1，2()2，1 0，ab10，a()bc 0，()ab c10()2，1()20，10.点评：a()bc 与()
4、ab c 表示的意义不一样，故不相等 跟踪训练2已知 a()4，2，|b 5，且 ab，求向量 b 的坐标分析：设向量 b 的坐标为()x，y，根据等量关系列方程组求解 解析：设 b()x，y，依题意有 x2y25，4x2y0，解得x1，y2或x1，y2.b()1，2 或 b()1，2.题型3 向量的综合应用例 3 设 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(00)，用 k 表示数量积 ab.分析：题目给出了向量的坐标，可以考虑坐标法解决问题，但实际上向量法会显得更简单明了(1)证明：a(cos，sin)，b(cos，sin)(00.点评：向量与代数中的一些问题如函数的最值问题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应熟练掌 握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、数量积 等坐标表示 跟踪训练3如下图所示，以原点 O 和 A(5，2)为两个顶点作等腰直角AOB，使B90，求点 B 的坐标分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想 解析：设点 B(x，y)，则OB(x，y)，AB(x5，y2)，B90，x(x5)y(y2)0.又|AB|OB|，x2y2(x5)2(y2)2.由，整理得x2y25x2y0，10 x4y29，解得x72，y32或x32，y72.B72，32 或 B32，72.
