1、课时作业13 椭圆简单几何性质的应用时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1若直线 kxy30 与椭圆x216y241 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是()A 54 k 54 或 k 54Dk0，即 k 54 或 k0，c0，则直线 l 的方程为 bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，解得 b23c2，又 b2a2c2，所以c2a214，即 e214，所以 e12或 e12(舍去)方法二：不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，所以bca 142b，所以 eca12.3过椭圆x24 y23
2、 1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A8,6B4,3C2，3D4,2 3B解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为 2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为 c1，将 x1 代入x24y231，得y32，所以最短弦的长为 2323.4若 AB 为过椭圆x225y2161 中心的线段，F1 为椭圆的焦点，则F1AB 面积的最大值为()A6B12C24D48B解析：如图，SABF1SAOF1SBOF12SAOF1.又OF1c3 为定值，点 A 与(0,4)重合时，OF1 边上的高最大，此时 SAOF1 的面积最大为12436.SABF1 的最大值为 12.5椭圆x216y241 上的点到直线 x
3、2y 20 的最大距离是()A3B 11C2 2D 10D解析：设与直线 x2y 20 平行的直线为 x2ym0与椭圆联立得，(2ym)24y2160，即 4y24my4y216m20，得 2y2my4m24 0.m28(m24 4)0，即m2320，m4 2.两直线间距离最大是当 m4 2时，dmax|24 2|5 10.6已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()Ax245y2361Bx236y2271Cx227y2181Dx218y291D解析：因为直线 AB 过点 F(
4、3,0)和点(1，1)，所以直线 AB的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去 y，得(a24 b2)x232a2x94a2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24 b21，即 a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，a218，故选D7已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A 7B 3C2 7D4 2C解析：设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由b2x2a2y2a2b20，x 3y40，得(a23b2)y28 3b2y16b2a2b20，由 0 及 c2，可得 a27，2a2
5、 7.8已知椭圆 C：x22y21 的右焦点为 F，直线 l：x2，点Al，线段 AF 交椭圆 C 于点 B，若FA3FB，则|AF|()A 2B2C 3D3A解析：设点 A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆 C：x22y21 知 a22，b21，c21，即 c1.右焦点 F(1,0)由FA3FB得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且 n3y0.x043，y013n.将 x0，y0 代入x22y21，得1243213n 21.解得 n21，|AF|212n2 11 2.二、填空题9椭圆 x24y216 被直线 y12x1 截得的弦长为.35解析：由x24y216，y12x1，消去 y
6、并化简得 x22x60.设直线与椭圆的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x22，x1x26.弦长|MN|1k2|x1x2|54x1x224x1x254424 35.10过椭圆x25y241 的右焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为.53解析：由 a25，b24，得 c21，因此右焦点 F 的坐标为(1,0)，直线 AB 的方程为 y2(x1)由y2x2，4x25y220，得 3x25x0，解得 x0 或 x53，所以|AB|53 1225 53，又点 O 到直线 AB 的距离为 d|2|122 25，因此 SOAB12
7、5 53 2553.11已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，设|AM|e|AB|，则该椭圆的离心率 e.512解析：由于直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，所以 Aae，0，B(0，a)由yexa，x2a2y2b21消去 y，得 x22cxc20，所以 M(c，aec)由|AM|e|AB|，可知AM eAB，即cae，aec eae，a，所以 aecae，即 1e2e，解得 e 512或 512(舍去)三、解答题12设直线
8、 yxb 与椭圆x22y21 相交于 A，B 两个不同的点(1)求实数 b 的取值范围；(2)当 b1 时，求|AB|.解：(1)将 yxb 代入x22y21，消去 y，整理得 3x24bx2b220.因为直线 yxb 与椭圆x22y21 相交于 A，B 两个不同的点，所以 16b212(2b22)248b20，解得 3bb0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入 C 的方程得16b21，则 b4，eca35，a2b2a2 925，即 116a2 925，a5，椭圆 C 的方程为x225
9、y2161.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)，设直线与C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程，得x225x32251，即 x23x80，故 x1x23.设线段 AB 的中点坐标为(x，y)，则 xx1x2232，yy1y2225(x1x26)65，即所求中点坐标为(32，65)能力提升类14设 F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若直线 xa2c 上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是()A0，22B0，33C22，1D33，1D解析：由垂直平分线的性
10、质知|F1F2|PF2|，设直线 xa2c 与 x 轴的交点为 M，则|PF2|F2M|，即|F1F2|F2M|，则 2ca2c c，即 3c2a2，所以 e2c2a213，又 0e1，所以 33 eb0)的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F1 到直线 l 的距离为 2 3.(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果AF2 2F2B，求椭圆 C 的方程解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1 到直线 l 的距离为 3c2 3，故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y10，直线 l 的方程为 y 3(x2)由y 3x2，x2a2y2b21，得(3a2b2)y24 3b2y3b40.解得y1 3b222a3a2b2，y2 3b222a3a2b2，因为AF2 2F2B，所以y12y2，即3b222a3a2b22 3b222a3a2b2，解得 a3.又 a2b24，所以 b 5.故椭圆 C 的方程为x29y251.
