1、2.2.2向量减法运算及其几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点)1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.1相反向量(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a(a)0.若a，b互为相反向量，则ab，ab0.零向量的相反向量仍是零向量2向量的减法(1)定义：aba(
2、b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示3|a|、|ab|与|b|三者之间的关系|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.思考：在什么条件下，|ab|a|b|?提示当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立1非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()AmnBmnC|m|n| D方向相反A由条件可知，当m0且n0时B，C，D项都成立，故选A.2在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A. B.C. D.C如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，()2，故选C.3化简的结果等于()A.B.C.
3、D.B原式()()0=.4如图，在ABCD中，a，b，用a，b表示向量，则_，_.abba由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知ab，ba.向量减法的几何意义【例1】(1)如图所示，四边形ABCD中，若a，b，c，则()AabcBb(ac)CabcDbac(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，转化；(2)利用几何意义法与定义法求出abc的值(1)A()acb.(2)解法一：(几何意义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二：(定义法)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则
4、ab，再作c，连接OC，则abc.图图求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量跟进训练1如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.解法一：先作ab，再作abc即可如图所示，以A为起点分别作向量和，使a，b.连接CB，得向量ab，再以C为起点作向量，使c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量abc.图图法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如图.(1)作b和c；(2)作a，则abc.向量减法的运算及简单应用【例2】(1
5、)如图所示，用a，b表示；用b，c表示.(2)化简下列各向量的表达式：；()()；()()思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同解(1)a，b，c.ab.()bc.(2).()()()()0.()()()()0.一题多解(2)法一：(加法法则)原式()()0；法二：减法法则(利用相反向量)原式()()0；法三：减法法则(创造同一起点)原式()()()()0.1向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用3与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运
6、算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算跟进训练2化简下列向量表达式：(1)；(2)()()解(1).(2)()()()0.向量减法几何意义的应用探究问题1以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将ab和ab放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD中，a，b，则ab，ab.2已知向量a，b，那么|a|b|与|ab|及|a|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立(2)当a，b不共线时，作a，b，则ab，如图所示，根据三角形的性质，有|a|b|ab|a|
7、b|.同理可证|a|b|ab|b|，作法同上，如图所示，此时|ab|a|b|.综上所述，得不等式|a|b|ab|a|b|.【例3】(1)在四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD是()A菱形B矩形C正方形 D不确定(2)已知|6，|9，求|的取值范围思路点拨：(1)先由判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|变形，进一步判断此四边形的形状(2)由|求范围(1)B，四边形ABCD为平行四边形，又|，|.四边形ABCD为矩形(2)解|，且|9，|6，3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.|的取值范围为3,151将本例(2)的条件改为“|8，|5”，求|的取值范围解因为，
8、|8，|5，|，所以3|13，当与同向时，|3；当与反向时，|13.所以|的取值范围是3,132在本例(2)条件不变的条件下，求|的取值范围解由|，|6，|9，3|15.当与同向时，|15；当与反向时，|3.3本例(2)中条件“|9”改为“|9”，求|的取值范围解，又|，由|，3|15.1用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量(2)化归为向量问题，进行向量运算(3)将向量问题还原为平面几何问题2用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可(2)根据图形灵活应用向量
9、的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.正确的个数是()A3B4C5D6C由向量减法、相反向量的定义可知都正确，错误2化简_.0()()0.3若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.02因为a，b为相反向量，ab0，即|ab|0，又ab，|ab|2a|2.4如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.
